Сумма синусов

[neo66]

Пусть $\varphi=\frac {2\pi} {11} $.

Вычислить: $\sin(\varphi)-\sin(2\varphi)+\sin(3\varphi)+\sin(4\varphi)+\sin(5\varphi)$

[Руст]

Это сумма Гаусса

$$\frac 12 \sum_{k=0}^{p-1}sin(k^2\phi)=\frac{\sqrt{11}}{2}.$$

[neo66]

Это так, но есть вполне элементарное школьное доказательство, в духе гениального Гаусса.

[arqady]

neo66
Ваша сумма сворачивается в произведение синусов (с множителем), а дальше уже как угодно:
можно посчитать квадрат этого произведения, применяя длинную тригонометрию;
можно комплексные числа применить.

[Edward_Tur]

Тригонометрия угла pi/n :
topic10854.html

[Профессор Снэйп]

Руст в сообщении #336332 писал(а):

Это сумма Гаусса

$$\frac 12 \sum_{k=0}^{p-1}sin(k^2\phi)=\frac{\sqrt{11}}{2}.$$

Там в исходном условии перед вторым слагаемым вроде бы минус. А в указанной сумме одни плюсы

-- Сб июл 03, 2010 21:49:42 --

Правда, там и квадратов нет. Наверное, я где-то не подумал...

[neo66]

neo66 в сообщении #336324 писал(а):

Пусть $\varphi=\frac {2\pi} {11} $.

Вычислить: $A=\sin(\varphi)-\sin(2\varphi)+\sin(3\varphi)+\sin(4\varphi)+\sin(5\varphi)$

Расскажу, все-таки, решение. По-моему, оно очень красивое, чистая алгебра! Идея, естественно, принадлежит Гауссу.

Пусть $\xi =e^{i\varphi}$. Возьмем последовательность $\{\xi^{2^k}, k=0, \dots ,10\}=\{\xi^1,\xi^2,\xi^4,\xi^8,\xi^5,\xi^{10},\xi^9,\xi^7,\xi^3,\xi^6\}$.

Пусть:
$\eta_1=\xi^1 + \xi^4 + \xi^5+\xi^9+\xi^3$
$\eta_2=\xi^2 + \xi^8 + \xi^{10}+\xi^7+\xi^6$

Тогда, ясно, что $\eta_1+\eta_2=-1$ и прямо проверяется, что $\eta_1\eta_2=3$. Откуда нетрудно углядеть, что:

$\eta_1=\frac {-1+i\sqrt{11}} 2$ и $\eta_2=\frac {-1-i\sqrt{11}} 2$.

Значит $A=Im(\eta_1)= \frac {\sqrt{11}} 2$.