У Вас какая-то путаница с окрестностями.
Ещё раз. После того, как конечное покрытие (из шариков с
половинными радиусами) фиксировано. Для каждого икса из данного множества:
1). Выбираем номер

, т.е. шар

, захватывающий данный икс -- и более
не меняем, он для этого икса уже фиксирован.
2). Раз этот икс попадает в шарик

, то он попадает в соотв. шар
удвоенного радиуса вместе с некоторой своей окрестностью -- и уж как минимум вместе с

-окрестностью.
И всё. Доказано, что
каждый икс попадает в один из шаров удвоенного радиуса вместе с

-окрестностью. Чего ещё желать-то?...