Лемма Лебега о покрытиях.

[Виктор Викторов]

В книге Энгелькинга "Общая Топология" на странице 409 есть «Теорема Лебега о покрытиях. Для любого открытого покрытия A метрического компакта X существует такое $\epsilon > 0$ , что покрытие $\{B(x, \epsilon)\}_x _\in _X$ вписано в A.
Доказательство. Для каждой точки $x \in X$ выберем такое $\epsilon_x > 0$ , что шар $B(x, 2 \epsilon_x)$ содержится в [некотором] элементе покрытия A. Открытое покрытие $\{B(x, \epsilon_x)\}_x_\in_X$ пространства X имеет конечное подпокрытие т. е. существует конечное множество точек $\{x_1, x_2, \ldots, x_k\}\subset X$, такое, что

$$X=B(x_1, \epsilon_x_1)\cup B(x_2, \epsilon_x_2)\cup \ldots \cup B(x_k, \epsilon_x_k)$$

Легко видеть, что число $\epsilon = min(\epsilon_x _1, \epsilon_x _2, \ldots, \epsilon_x _k)$ обладает требуемым свойством.»

Вот это «Легко видеть» мне и хотелось бы понять. Конечно, как это и сделал Келли, можно построить положительную непрерывную функцию и воспользоваться компактностью образа, но это не «Легко видеть».

[ewert]

Любая точка из $X$ содержится в одном из шаров $B(x_i,\varepsilon_{x_i})$ -- следовательно, её $\varepsilon_{x_i}$-окрестность содержится в шаре $B(x_i,2\varepsilon_{x_i})$ -- следовательно, её $\varepsilon_{\min}$-окрестность тем более содержится в этом шаре, а значит, и в $A$.

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #337640 писал(а):

Любая точка из $X$ содержится в одном из шаров $B(x_i,\varepsilon_{x_i})$

Да!

ewert в сообщении #337640 писал(а):

-- следовательно, её $\varepsilon_{x_i}$-окрестность содержится в шаре $B(x_i,2\varepsilon_{x_i})$

Да!

ewert в сообщении #337640 писал(а):

-- следовательно, её $\varepsilon_{\min}$-окрестность тем более содержится в этом шаре, а значит, и в $A$.

А это почему для каждой точки $x$? Шарик произвольно маленький и его $\varepsilon_{x}$ зависит от $x$, а $\varepsilon_{\min}$ -- минимум из конечного числа $\varepsilon_{x}$. Поэтому-то Келли и конструирует положительную функцию расстояний с минимумом.

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #337648 писал(а):

А это почему для каждой точки $x$?

Если "Да! Да!", то почему "почему"?... Просто потому, что $\varepsilon_{\min}$-окрестность содержится в $\varepsilon_{x_i}$-окрестности икса, где $x_i$ -- это центр того шарика, в который попала точка $x$.

[Хорхе]

(Оффтоп)

Ага, надо писать $\varepsilon_{x_{i(x)}}$, чтобы было понятно

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #337652 писал(а):

Просто потому, что $\varepsilon_{\min}$-окрестность содержится в $\varepsilon_{x_i}$-окрестности икса, где $x_i$ -- это центр того шарика, в который попала точка $x$.

Вот тут-то у меня и дырка в понимании. Конечно, если брать точку из выделенного конечного набора точек, то $\varepsilon_{\min}$-окрестность содержится в $\varepsilon_{x_i}$-окрестности икса. Но возьмем точку удаленную от точки ${x_i}$ на расстояние большее чем $\varepsilon_{\min}$. У этой точки свой $\varepsilon_{x_i}$. Почему $\varepsilon_{\min}$ меньше? Он минимум только для некоторого конечного набора точек.

[ewert]

У Вас какая-то путаница с окрестностями.

Ещё раз. После того, как конечное покрытие (из шариков с половинными радиусами) фиксировано. Для каждого икса из данного множества:

1). Выбираем номер $i$, т.е. шар $B(x_i,\varepsilon_{x_i})$, захватывающий данный икс -- и более $x_i$ не меняем, он для этого икса уже фиксирован.

2). Раз этот икс попадает в шарик $B(x_i,\varepsilon_{x_i})$, то он попадает в соотв. шар удвоенного радиуса вместе с некоторой своей окрестностью -- и уж как минимум вместе с $\varepsilon_{\min}$-окрестностью.

И всё. Доказано, что каждый икс попадает в один из шаров удвоенного радиуса вместе с $\varepsilon_{\min}$-окрестностью. Чего ещё желать-то?...

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #337666 писал(а):

У Вас какая-то путаница с окрестностями.

Конечно, именно с ними родимыми.

ewert в сообщении #337666 писал(а):

2). Раз этот икс попадает в шарик $B(x_i,\varepsilon_{x_i})$, то он попадает в соотв. шар удвоенного радиуса вместе с некоторой своей окрестностью -- и уж как минимум вместе с $\varepsilon_{\min}$-окрестностью.

Дошло! Спасибо!

(Оффтоп)

ewert в сообщении #337666 писал(а):

Чего ещё желать-то?...

Желать можно много чего.