Вращение фигур

[Sasha2]

Допустим надо доказать следующую теорему:
Теорема: Если фигура F' получается из фигуры F путем некоторого вращения последней, то тогда эти две фигуры равны между собой.

Меня интересует вот такой вопрос:
Обосновано ли такое утверждение?
Без ограничения общности мы можем считать, что центр вращения O принадлежит обеим фигурам F и F'.

[Xaositect]

Центр вращения - неподвижная точка преобразования поворота. Если добавить центр к обоим фигурам, они все равно будут друг из друга получаться.

[Sasha2]

То есть вполне законно считать, что если две фигуры с центром вращения получаются одна из другой путем вращения вокруг этого центра, то и их остатки без этого центра совместятся друг с другом. И обратно, если две фигуры без центра вращения совмещаются путем вращения вокруг этого центра, то добавив этот центр мы опять получим равные фигуры.

[gris]

А что Вы понимаете под равенством фигур?
Да и под самими фигурами? Не достаточно показать, что вращение (поворот) является движением?
И центр вращения может находиться вне обеих фигур.

[ИСН]

Вот мне тоже что-то сильно показалось, что это определение, а не свойство. Равные - это такие, которые можно поворотом...

[Sasha2]

Да ничего я не имею в виду под равенством фигур, кроме того, что сказано в учебнике Адамара "Элементарная геометрия".
Движение как таковое там не определяется. А равенство фигур понимается как возможность их совмещения.

Да и еще в этой книге равенство фигур строится в основном на идее того, что два равных отрезка могут быть совмещены друг с другом. Это основная идея, развиваемая автором, который показывает, как на ее основе прити к равенству любых произвольных (пока что плоских фигур).

Не берусь судить насчет строгости, но выглядит все достаточно логичн (хотя бы на элементарном уровне).

[gris]

ИСН, а параллельный перенос это поворот из бесконечной точки?

[ИСН]

Тьфу, забыл про этот случай. И ясно, почему: которые совмещаются переносом, в голове воспринимаются как "ну ВАЩЕ одно и то же", а которые поворотом - "так и быть, будем считать равными"...

[neo66]

Думаю, что равенство фигур можно определить, как изометрию. Т.е. назовем фигуры равными, если существует биекция, сохраняющая расстояние. Дальше можно уже доказывать, что изометрии плоскости - это композиции вращений, параллельных переносов, и отражений. Ну и так далее.

[AD]

Sasha2 в сообщении #337607 писал(а):

Теорема: Если фигура F' получается из фигуры F путем некоторого вращения последней, то тогда эти две фигуры равны между собой.

Sasha2 в сообщении #337616 писал(а):

А равенство фигур понимается как возможность их совмещения.

То есть один из вариантов решения - понять, что совмещение поворотом есть совмещение?

-- Вт июл 06, 2010 18:36:15 --

neo66 в сообщении #337622 писал(а):

Дальше можно уже доказывать, что изометрии плоскости - это композиции вращений, параллельных переносов, и отражений.

Не, в нашем случае тогда уж достаточно доказать, что поворот - это изометрия

[Sasha2]

Все таки это вопрос достаточно деликатный, уважаемый AD.
Например, вопрос равенства треугольника сводится к вопросу о совмещнии трех вершин одного треугольника с тремя вершинами другого, а это согласитесь, ну скажем полегче гораздо чем строгий подход на основе движений к равенству и совмещению произвольных фигур.
А далее можно развить эту идею, что кстати Адамар и делает в своем учебнике.
То есть там есть понятие фигуры, есть понтитие неизменяемой фигуры и есть понятия всех основных движений: параллельный перенос, симметрия относительно прямой, вращение и центральная симметрия (как частный случай вращения на угол равный двум прямым), а также теоремы где доказывается, что любые две фигуры, получаемые одна из другой одним из этих движений, равны. В некоторых случаях указывается, что фигуры имеют одинаковое направление вращения (или иначе, являются собственно равными), в других слчаях (симметрия относительно прямой) указывается, что равные фигуры имеют противоположные направления вращения (или иначе, что эти фигуры являются зеркально-равными).