2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Система x+y+z=a, x^2+y^2+z^2=a^2, x^3+y^3+z^3=a^3.
Сообщение06.07.2010, 11:16 
Добрый день, ну в принципе ответ известен, как найти строгое решение?
\begin{eqnarray}
\nonumber
$$\eqalign{
  & x + y + z = a  \cr 
  & {x^2} + {y^2} + {z^2} = {a^2}  \cr 
  & {x^3} + {y^3} + {z^3} = {a^3} \cr} $$
\end{eqnarray}

 
 
 
 Re: Школьная задача.
Сообщение06.07.2010, 11:18 
Аватара пользователя
Что за фигуру задаёт первое уравнение?
Что за фигуру задаёт второе уравнение?

 
 
 
 Re: Школьная задача.
Сообщение06.07.2010, 11:22 
Тут смысл как мне кажется в строгих алгебраических преобразованиях, но делать их прямо очень долго и сложно. Нужно как то преобразовать "быстро и легко".

 
 
 
 Re: Школьная задача.
Сообщение06.07.2010, 11:43 
Hyperion в сообщении #337535 писал(а):
, как найти строгое решение?

Вычитая из второго квадрат первого, получим $xy+yz+zx=0$ (назовём это четвертым). Вычитая из третьего куб первого и прибавляя четвертое умножить на первое (с подходящим коэффициентом), получим $xyz=0$. Что в сочетании с четвёртым даёт непременно или $x=y=0$, или $y=z=0$, или $z=x=0$.

 
 
 
 Re: Школьная задача.
Сообщение06.07.2010, 12:16 
Аватара пользователя
Поскольку уравнения симметричны относительно $x,y,z$, то можно использовать методы из Болтянский "Симметрия в алгебре" (там даже аналогичный пример рассмотрен, только от 4-х переменных).

 
 
 
 Re: Школьная задача.
Сообщение07.07.2010, 13:49 
Аватара пользователя
Hyperion в сообщении #337535 писал(а):
Добрый день, ну в принципе ответ известен, как найти строгое решение?
\begin{eqnarray}
\nonumber
$$\eqalign{
  & x + y + z = a  \cr 
  & {x^2} + {y^2} + {z^2} = {a^2}  \cr 
  & {x^3} + {y^3} + {z^3} = {a^3} \cr} $$
\end{eqnarray}

Первое уравнение выкиньте, всё видно из вот этих двух

\begin{eqnarray}
\nonumber
$$\eqalign{
  & {x^2} + {y^2} + {z^2} = {a^2}  \cr 
  & {x^2(x-a)} + {y^2(y-a)} + {z^2(z-a)} = 0 \cr} $$
\end{eqnarray}

Каждая из неизвестных не превосходит по модулю число $a,$ поэтому все слагаемые вида $x^2(x-a)}$ равны нулю, поэтому ровно одна из неизвестных равна числу $a,$ а две остальные равны нулю.

 
 
 
 Re: Школьная задача.
Сообщение07.07.2010, 13:56 
Классное решение.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group