Задача из выпуска IX ("Ряды") комплекса учебников "Математика в техническом университете" издательства МГТУ им. Баумана:
Докажите, что линейная оболочка последовательности

элементов гильбертова пространства

, где

, всюду плотна в

.
Я решил эту задачу (с трудом, правда), но все же остались сомнения в корректности рассуждений. А самое главное, даже если решение верно, у меня есть большое подозрение, что существует более короткий и изящный способ решения. Хотелось бы узнать мнение профессионалов на счет корректности моего решения и существования более простого способа.
Вот мое решение - схематично, опуская подробности, чтобы не занимать слишком много места.
1)Для произвольных

и

из

определено скалярное произведение (доказывается в примере 6.1 того же учебника):

а значит сходится ряд

. Для произвольного элемента

обозначим

. Тогда

Тогда для любого

можно указать такое

, что будет

.
2)Полагаем, что

- тот элемент из

, который ортогонален всем элементам рассматриваемой линейной оболочки. Тогда он ортогонален и всем

. Значит,

откуда

. Точно так же находим, что

. Но, если

, то, как следует из п. 1, для

существует

такое, что для всех

выполняется

и получаем противоречие.
Таким образом

.
3)Из п. 2 также следует, что для всех

выполняется

. Тогда также

где элемент

получен из

отбрасыванием первого члена.
Итак, ситуация повторяется для

и аналогично доказывается, что

. При этом

. Используя ту же схему по индукции получаем, что

.
4)Таким образом, единственным элементом, ортогональным всем элементам рассматриваемой линейной оболочки, является нулевой элемент, откуда и получаем, что эта линейная оболочка всюду плотна в

.
P. S. Просьба не бить ногами по голове, если в моих выкладках обнаружатся грубые с математической точки зрения ошибки - у меня гуманитарное образование, а математику я изучаю самостоятельно.