Лемма Жордана и вычисление интегралов с помощью вычетов

[bobby2008]

Здравствуйте, вопрос следующий. Есть интеграл вида

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\*e^\(iwx} dx$$

Если w>0 тогда по мы пишем что интеграл равен сумме вычетов в верхней полуплоскости, если w<0 тогда в нижней, почему? Вроде там что-то с леммой Жордана связано, то в ней ведь говорится, что интеграл по бесконечной окружности стремится к нулю. Или не так? Прошу пояснить. Спасибо.

[Xaositect]

Не по окружности, а как раз по верхней или нижней полуокружности.
Соответственно, если мы рассмотрим верхний или нижний полукруг и устремим его радиус к $\infty$, то все особые точки верхней/нижней полуплоскости в него попадут. А с другой стороны, значение интеграла по полуокружности будет стремиться к нулю, а по отрезку - к v.p. нашего несобственного интеграла.

[bobby2008]

Xaositect в сообщении #336885 писал(а):

Не по окружности, а как раз по верхней или нижней полуокружности.
Соответственно, если мы рассмотрим верхний или нижний полукруг и устремим его радиус к $\infty$, то все особые точки верхней/нижней полуплоскости в него попадут. А с другой стороны, значение интеграла по полуокружности будет стремиться к нулю, а по отрезку - к v.p. нашего несобственного интеграла.

Проверка моей доходчивости, простите, если не понял.
Интеграл по верхней полуокружности равен, поскольку замкнутый контур, сумме вычетов внутри этого контура, то есть если устремить радиус полуокружности в бесконечность то всех вычетов в верхней полуплоскости. С другой стороны интеграл по этой полуокружности равен сумме интегралов по самой полуокружности плюс по оси(то есть наш искомый интеграл). По лемме Жордана интеграл по полуокружности стремится к нулю, поэтому интеграл по оси(вида $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\*e^\(iwx} dx$ ) будет равен сумме вычетов в верхней полуплоскости. Так?
Спасибо еще раз.

[Xaositect]

bobby2008 в сообщении #336888 писал(а):

Так?

Да.

[bobby2008]

Большое-пребольшое спасибо. Вы мне правда помогли. Сегодня из-за того что не мог это объяснить чуть не выгнали...