Формулировка геометрической задачи

[Sasha2]

Вот есть такая задача:
Через данную точку проведите прямую, отсекающую от данного угла треугольник заданного периметра.

Меня интересует не решение, а что делать, если эта точка лежит ну например на продолжении биссектрисы данного угла?
Вообще, не является ли искажением этой задачи, если ее сформулировать так:

Через данную точку, ЛЕЖАЩУЮ ВНУТРИ ДАННОГО УГЛА, проведите прямую, отсекающую от этого угла треугольник заданного периметра.

[Shtirlic]

Sasha2 в сообщении #336765 писал(а):

Вот есть такая задача:
Через данную точку проведите прямую, отсекающую от данного угла треугольник заданного периметра.

Меня интересует не решение, а что делать, если эта точка лежит ну например на продолжении биссектрисы данного угла?
Вообще, не является ли искажением этой задачи, если ее сформулировать так:

Через данную точку, ЛЕЖАЩУЮ ВНУТРИ ДАННОГО УГЛА, проведите прямую, отсекающую от этого угла треугольник заданного периметра.

Я, думаю, что искажает, точка может лежать и вне угла!

[Sasha2]

Ну хорошо, а как же тогда отсечь те варианты расположения точки, при которых невозможно провести общую секущую к сторонам данного угла. В частности, когда данная точка лежит на продолжении биссектрисы данного угла?

Короче, с чего надо начинать решение данной задачи? Может быть с выяснения ГМТ, при котором проведение таких секущих вообще воозможно.

[ИСН]

"Антиугол" (это откуда невозможно). Название придумал только что. Нравится?

[Sasha2]

Вообще не понял.
Но вот логично было бы в случае, если точка лежит вне угла, продолжить его до вертикального. Тогда секущая точно пересечет стороны одного и только одного из эттих двух углов.

[gris]

Мне кажется, что есть три случая.

Если точка лежит вне данного угла, но внутри вертикального к нему, то нельзя провести прямую, пересекающую две стороны данного угла, то есть никакого треугольника не получится.

Если точка лежит строго внутри двух смежных углов, то можно отсечь треугольник любого периметра.

Если точка лежит внутри данного угла, то можно отсечь треугольник любого периметра, не меньше некоторого минимального.

Нет?

[Shtirlic]

Sasha2
Ясно, что если точка находиться внутри угла (именно внутри, границу угла в расчет не берем), то это задача не всегда разрешима. В противном же случае все зависет от расположения точки. Если на бессектрисе вне угла, то задача всегда неразрешима. А решать по мне просто. Располагаем систему координат так, чтобы вершина совпадала с началом координат и одна ветвь шла по оси абцисс (ветвь 1), а вторая ветвь была в первой четверти. Дальше берем точку, определяем уравнение прямой проходящей через эту точку (зависящие от углового коэффициента, и пусть ее завут прямая 1), Определяем уравнение ветви 2. Дальше находим пересечение прямой 1 с ветвями угла. Теперь мы знаем все три точки угла. Дальше находим периметр треугольника (который будет зависеть от углового коэффициента), приравниваем его к необходимому и решаем. Только уравнение там похоже будет не очень хорошее!=) Так вот находим решение (похоже оно будет не одно), а дальше выбираем то, где все точки в первой четверти, если таких нет, то и решения нет.
Как-то так!=)

[Sasha2]

Да нет там решение простое достаточно.
На сторонах данного угла выбираем два отрезка, равных полупериметру данного треугольника. А затем вписываем в данный угол окружность, проходящую через концы этих отрезков. Далее через данную точку проводим касательную к построенной окружности.
ПОнятно, что по свойству касательных построенный треугольник будет искомым, если данная окружность будет вневписанной по отношению к этому треугольнику. Единственность решения (конечно, в случае его существования также очевидна).

[Shtirlic]

gris

Цитата:

Если точка лежит внутри данного угла, то можно отсечь треугольник любого периметра, не меньше некоторого минимального.

Также и не больше некоторого максимального!
В остальном согласен.

[Sasha2]

Ну а все же хотелось бы получить ответ уважаемых форумчан на следующий вопрос.
Данная задача в такой формулировке может ли запутать школьника и вместо выявления знаний будем иметь ненужные дерганья и метания?

[Shtirlic]

Sasha2 в сообщении #336779 писал(а):

Да нет там решение простое достаточно.
На сторонах данного угла выбираем два отрезка, равных полупериметру данного треугольника. А затем вписываем в данный угол окружность, проходящую через концы этих отрезков. Далее через данную точку проводим касательную к построенной окружности.
ПОнятно, что по свойству касательных построенный треугольник будет искомым, если данная окружность будет вневписанной по отношению к этому треугольнику. Единственность решения (конечно, в случае его существования также очевидна).

Что-то я не пойму, а если точка будет за окружностью, то после этого решения, каждая стороная на угле, будет больше отложенных отрезков, следовательно периметр треугольника уже больше заданного. Да и можно две касательные к окружносте провести из одной точки, если она вне окружности.

[Sasha2]

Значит в этом случае решений нет. Там же сказано (ЕСЛИ РЕШЕНИЕ СУЩЕСТВУЕТ).

[gris]

Вообще-то это задача на построение циркулем и линейкой.
Школьник должен не только определить, когда она имеет решения, но и их количество. И если положение точки не указано, то придётся рассмотеть все случаи (с доказательством, например, невозможности проведения секущей из антиугла, которое ещё не всякий школьник проведёт).
Будут выявляться не только знания стандартных приёмов построения, но и умение анализировать задачу в полном объёме.
А максимального периметра, по-моему, таки нет.

[master]

gris в сообщении #336787 писал(а):

А максимального периметра, по-моему, таки нет.

таки нет, таки нет...

-- Пт июл 02, 2010 14:59:04 --

а если точка внутри окружности

-- Пт июл 02, 2010 15:09:53 --

master в сообщении #336788 писал(а):

а если точка внутри окружности

надо провести еще окружность

[Shtirlic]

А ну да, максимального нет!
Так все же, почему решение единственное, если можно провести две касательных?