области на (комплексной) плоскости

[Tuzembobel]

1) Надо найти те значение $a$, при которых уравнение $|z^2-1|<a$ задает область, $z\in \mathbb{C}$.
Первое что придумал: возьмем отображение $z\to z^2$ - это отображение переводит область из $\mathbb{C}$ в $\mathbb{C}$. А образ будет областью при всех $a$.
Где здесь я ошибся?

[Brukvalub]

Tuzembobel писал(а):

1) Надо найти те значение $a$, при которых уравнение $|z^2-1|<a$ задает область, $z\in \mathbb{C}$.
Первое что придумал: возьмем отображение $z\to z^2$ - это отображение переводит область из $\mathbb{C}$ в $\mathbb{C}$. А образ будет областью при всех $\delta$.
Где здесь я ошибся?

Прежде всего Вы , как минимум два раза, ошиблись при наборе сообщения: последнее $\delta$ нигде ранее в тексте не появлялось и Вы пишете "уравнение", а затем приводите неравенство. Теперь по существу: если под областью, как это общепринято, понимать откытое связное множество в С, то неравенство $|z^2-1|<a$ задает область при всех а>1.

[Руст]

Чем вам не понравилось 0<a<=1 ?

[Brukvalub]

Руст писал(а):

Чем вам не понравилось 0<a<=1 ?

При маленьких а>0 теряется связность - точки а=1 и а= -1 всегда удовлетворяют неравенству, а расстояние между ними равно 2.

[Tuzembobel]

Извиняюсь, исправил: там вместо $a$ написал $\delta$.
UPD: Все же непоятно, почему это множество будет областью при $a>1$?
Не поможете еще с задачкой: определяет ли граница ограниченной области саму область однозначно в комплексной плоскости, т.е. может ли одна и та же граница задавать различные ограниченные области в $\mathbb{C}$?

Оступление: для прямой $\mathbb{R}^1$, по-моему, такое нельзя придумать, т.е. граница области на прямой задает ее однозначно, а на плоскости простого контрпримера не придумал.

[RIP]

Tuzembobel писал(а):

Не поможете еще с задачкой: определяет ли граница ограниченной области саму область однозначно в комплексной плоскости, т.е. может ли одна и та же граница задавать различные ограниченные области в $\mathbb{C}$?

Пример таких областей легко строится, я когда-то строил, детали сейчас не помню, но могу дать несколько наводок. Во-первых, постройте пример неограниченных областей (это легко), а затем проделайте подобное в единичном круге, причем граница круга будет частью границы для обоих областей.
Нарисовать это намного проще, чем объяснить словами.

[Someone]

На плоскости для каждого натурального $n$ можно построить $n$ попарно непересекающихся областей, из которых только одна неограниченная, таких, что границы всех $n$ областей одинаковые. Поэтому граница области не определяет её однозначно.

[Руст]

У Босса (в книге про интуицию) есть примеры как разделить комплексную плоскость на n областей с общей для всех границей.

[Someone]

Н.Я.Виленкин. Рассказы о множествах. "Наука", Москва, 1969.