Последний ответ, данный выше — неправильный при

. Нашел у себя ошибку в вычислениях, но правильный ответ решил дать уже вместе с решением.
Суть решения в том, что предложенный для взятия интеграл — это

-компонента напряженности электрического поля, созданого зарядами, распределенными в шаре так, что плотность заряда пропорциональна

. Как известно из электростатики (или из теории потенциала), если заряды распределены таким образом по сфере (т.е., если поверхностная плотность заряда пропорциональна

), то электрическое поле вне сферы — это поле точечного диполя, а внутри сферы — однородное поле. Следовательно электрическое поле описанного выше распределения зарядов в шаре представляет собой поле точечного диполя вне шара, а в точке, находящейся на расстоянии

от центра шара, оно представляет собой суперпозицию поля точечного диполя (поля зарядов внутри шара радиуса

) и однородного поля (поле зарядов сферической оболочки толщиной

).
Ну а теперь — то же самое, только с формулами. Известная из электростатики формула для распределения зарядов на сфере радиуса

имеет вид
![$$
\int\limits_0^{2\pi}
\int\limits_0^\pi
q_{0\text{s}}\cos\theta
\dfrac
{\vec{r}_0
-
r
\left[
\sin\theta
\left(
\cos\phi\vec{i}
+
\sin\phi\vec{j}
\right)
+
\cos\theta\vec{k}
\right]
}
{\left|
\vec{r}_0
-
r
\left[
\sin\theta
\left(
\cos\phi\vec{i}
+
\sin\phi\vec{j}
\right)
+
\cos\theta\vec{k}
\right]
\right|^3
}
r^2 \sin\theta
\,
\mathrm{d}\theta
\mathrm{d}\phi
=
$$ $$
\int\limits_0^{2\pi}
\int\limits_0^\pi
q_{0\text{s}}\cos\theta
\dfrac
{\vec{r}_0
-
r
\left[
\sin\theta
\left(
\cos\phi\vec{i}
+
\sin\phi\vec{j}
\right)
+
\cos\theta\vec{k}
\right]
}
{\left|
\vec{r}_0
-
r
\left[
\sin\theta
\left(
\cos\phi\vec{i}
+
\sin\phi\vec{j}
\right)
+
\cos\theta\vec{k}
\right]
\right|^3
}
r^2 \sin\theta
\,
\mathrm{d}\theta
\mathrm{d}\phi
=
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/7/817821bbdd7735f06a36207dfff0a8f282.png)

(Оффтоп)
Именно при выводе этой формулы (лень было ее искать) я и допустил ошибку.
Здесь

,

,

и

— базисные векторы декартовой системы координат,

— максимальная поверхностная плотность заряда на сфере. Из этой формулы следует, что для распределения зарядов в шаре
![$$
\int\limits_0^R
\int\limits_0^{2\pi}
\int\limits_0^\pi
\dfrac{q_0}{R} r\cos\theta
\dfrac
{\vec{r}_0
-
r
\left[
\sin\theta
\left(
\cos\phi\vec{i}
+
\sin\phi\vec{j}
\right)
+
\cos\theta\vec{k}
\right]
}
{\left|
\vec{r}_0
-
r
\left[
\sin\theta
\left(
\cos\phi\vec{i}
+
\sin\phi\vec{j}
\right)
+
\cos\theta\vec{k}
\right]
\right|^3
}
r^2 \sin\theta
\,
\mathrm{d}\theta
\mathrm{d}\phi
\mathrm{d}r
=
$$ $$
\int\limits_0^R
\int\limits_0^{2\pi}
\int\limits_0^\pi
\dfrac{q_0}{R} r\cos\theta
\dfrac
{\vec{r}_0
-
r
\left[
\sin\theta
\left(
\cos\phi\vec{i}
+
\sin\phi\vec{j}
\right)
+
\cos\theta\vec{k}
\right]
}
{\left|
\vec{r}_0
-
r
\left[
\sin\theta
\left(
\cos\phi\vec{i}
+
\sin\phi\vec{j}
\right)
+
\cos\theta\vec{k}
\right]
\right|^3
}
r^2 \sin\theta
\,
\mathrm{d}\theta
\mathrm{d}\phi
\mathrm{d}r
=
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/6/33616094ffe4488af04c3d76f82fec7082.png)


Здесь

— максимальная объемная плотность заряда в шаре (достигаемая в точке на его поверхности).
Умножив скалярно первое выражение на

и положив

, получим предложенный для взятия интеграл, в котором произведена замена переменных интегрирования (от декартовых к сферическим). Таким образом,


(Оффтоп)
Выглядит так, что я только знак в одном месте перепутал, но на самом деле ошибка была серьезнее.