Волновое уравнение

[ShMaxG]

Дано вот такое волновое уравнение:
$ \[\left\{ \begin{gathered} {u_{tt}} = \Delta u \hfill \\ u\left| {_{t = 0} = \sin \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)} \right. \hfill \\ {u_t}\left| {_{t = 0} = 0} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$

В ступоре.

Пробовал всякие замены. Даже интеграл пытался вычислить. Может здесь что-то стандартное, но не видно/не помню.

[terminator-II]

нужно перейти к сферическим координатам; решение будет зависеть только от $r$ (ну и от $t$ разумеется)

[ShMaxG]

В сферических координатах имеем

$\[\left\{ \begin{gathered} {u_{tt}} = {u_{rr}} + \frac{2} {r}{u_r} \hfill \\ u\left| {_{t = 0} = \sin {r^2}} \right. \hfill \\ {u_t}\left| {_{t = 0} = 0} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$

И что? Все равно не вижу как дальше.

А интегральная формула - придется интегрировать по сфере, с центром в иксе... и симметрии уже никакой нет.

[mitia87]

Сферическая замена сводит к уравнению с одной пространственной переменной.

(Оффтоп)

$u :=\frac{1}{2 r}((t+r)\sin((t+r)^2)-(t-r)\sin((t-r)^2)$

Читайте Тихонова (стр 406)

[ShMaxG]

mitia87
Это в "Основной задаче электроразведки"? Там (в моем издании) ряды какие-то... Проще ж наверно можно. Или вы про другую тему?

[mitia87]

Это в самом начале главы "распространение волн в пространстве"

[ShMaxG]

Аааа, замена $\[v = ru\]$. Вон оно что!

Спасибо!

[terminator-II]

общее решение

$$u=\frac{a(r+t)+b(r-t)}{r}$$

[ShMaxG]

terminator-II
Да-да, это я уже понял. Фишка была как раз в этой замене хитрой. Но ничего, запомню.

[Darkstar]

Не очень вас понимаю (давно учил это все). Насколько я понимаю, здесь нужно привести к одномерному случаю, и использовать формулу д'Аламбера (http://ru.wikipedia.org/wiki/Формула_Кирхгофа)

Причем напрашивается замена

$$r = x^2 + y^2 + z^2$$

. Так?

[ИСН]

Не знаю никакого д'Аламбера (тоже учил давно; сейчас заглянул - да ну его к чёрту, там интегрировать подохнешь), зато знаю два частных решения: плоская волна и сферическая волна. Здесь налицо последняя.

[ShMaxG]

Darkstar
Да, сводим к одномерному случаю, но замена, естественно, другая - переход к сферическим координатам. Это дает затем возможность воспользоваться заменой $v=ru$, которая приводит к волновому уравнению на полубесконечной струне, решение которой мы знаем (формула Даламбера) в одной из областей. А в другой области решение тоже знаем, так как имеем граниченое условие $v=0$ при $r=0$ для любого $t$.

[Darkstar]

Ну так какой у вас ответ? Если не лень, можно и решение.

[ShMaxG]

Ответ не интересен (естественно), я до него не добирался. Мне был интересен сам подход, который уже был в этой теме изложен.

[Darkstar]

Вы сами сказали, что нужно "запомнить" замену, а такого быть не должно, замена должна быть естественной. Здесь напрашивается
$r^2 = x^2 + y^2 + z^2$, тогда видно, что второе у-ние описывает амплитуду синусоидальных колебаний квадрата радиуса некой сферы... как-то так. Но может я и перемудрил.

-- Ср июн 30, 2010 01:44:23 --

Потом записываем лапласиан в сфер. координатах
$u_{tt} = \frac{d^2u} {dr^2} + \frac{2} {r} \frac {du }{dr}$