Выразить через Эйлеровы интегралы

[triam]

Здравствуйте. Помогите пожалуйста решить следующий пример
$\int_0^{\pi/2} \cos^m(x) \cos(mx) dx$, где m-любое.
Самое нормальное из того, что получилось у меня:
$\int_0^{\pi/2} \cos^m(x) \cos(mx) dx = Re \int_0^{\pi/2} \frac{(e^{ix} + e^{-ix})^m}{2^m} e^{imx} dx = Re \int_0^{\pi/2} \frac{(e^{2ix}+1)^m e^{imx}}{e^{imx} 2^m} dx = $
$= Re \int_0^{\pi/2} \frac{(e^{2ix}+1)^m}{2^m} dx$
теперь замена $e^{2ix} = t; dt = 2i e^{2ix} dx; 0->1; \pi/2 -> -1$
получится
$Re \int_1^{-1} \frac{(t+1)^m}{i2^{m+1} t} dt$
Теперь отсюда надо получить бета или гамма функцию. Я пробовал разделить интеграл на 2 по пределам от 1 до 0 и от 0 до -1. если во втором положить t=-z то бета функция получается. Но я не знаю что делать с первым, да и вобще не уверен в правомерности такого разделения.
Препод говорит попробовать через ТФКП, но я не представляю как связать бета функцию и ТФКП.
Ответ $\frac{\pi}{2^{m+1}}$ область сходимости m>-1

[ИСН]

Ответ немедленно следует из полиномов Чебышева, а ТФКП и бета-функция ни при чём.

[Полосин]

triam, вы почти все сделали, вот только после замены у вас получится не отрезок, а полуокружность. Достройте ее до окружности, получится вычет, который легко найти.

[triam]

Дело в том, что по условию задания нужно выразить исходный интеграл через Эйлеровы. В моем случае в ответе Эйлеровых интегралов нет, поэтому нужно их получить в процессе решения. Вариант с вычетом я преподу показывал, но ему нужны именно Эйлеровы интегралы. Проблема как раз в том, что я никак не могу их получить.