Признак сходимости Лейбница, знакочередующийся ряд

[Karmi]

Застряла в самом начале...
"Установить, является ли знакочередующийся ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1}} \cdot \tg {\frac {\pi} {4{\sqrt{n}}}$ сходящимся абсолютно, сходящимся условно или расходящимся."

По признаку Лейбница есть 2 условия для проверки на сходимость знакочередующихся рядов:
1) $a_{n+1}<a_n$
2) $\lim\limits_{n \to \infty} |a_n| = 0$

1) $\tg {\frac {\pi} {4{\sqrt{n}}} > \tg {\frac {\pi} {4{\sqrt{n+1}}}$ (проверяла просто подстановкой n)
2) $\lim\limits_{n \to \infty} \tg {\frac {\pi} {4{\sqrt{n}}}= ?$

[gris]

Вы ничего не проверили. Вообще проверить подстановкой можно только при конкретном значении переменной. А в Вашем случае проверить означает доказать.
Вам в подмогу свойства тангенса в некоторой окрестности нуля. Его непрерывность и монотонность. Используйте свойства предела. Про монотонность корня тоже неплохо упомянуть.

[мат-ламер]

Цитата:

Вам в подмогу свойства тангенса в некоторой окрестности нуля. Его непрерывность и монотонность.

Если использовать ещё одно свойство тангенса, то его вообще можно зачеркнуть в исходном ряду, получая эквивалентный ряд.

[gris]

мат-ламер, я долго думал, можно ли включить сюда эквивалентность.
Потом решил, что не очень корректно.
В некоторых (все знают) учебниках ряды рассматриваются до БМ.
Из эквивалентности не следует монотонность, а именно она нам нужна по условию задачи (Признак Лейбница).
Чего-то я занялся буквоедством.

[ewert]

gris в сообщении #335334 писал(а):

В некоторых (все знают) учебниках ряды рассматриваются до БМ.

Я, я не знаю!

Назовите поимённо тех экстремалов, которые ряды рассматривают до пределов. Страна должна знать своих беспредельщиков героев!

[gris]

(Оффтоп)

До пределов функций.
Вы этот учебник на букву З, по-моему, не читали из принципу (если уж точно цитировать).
В нём начальные сведения о рядах излагаются на параграф раньше, чем пределы функций.

В общем-то, это немного надуманная причина. Как, впрочем, и неиспользования эквивалентности для доказательства сходимости/расходимости.
Опытному человеку достаточно взгляда на этот ряд и ему всё понятно. Но для студента, желающего разобраться в тонкостях, я бы посоветовал тщательнее продумывать даже самые простые задачи. Хотя, может быть, это то же самое, что ковыряться в элементарной геометрии. К чему? Просто ради эстетизьма, который сами знаете что.

PS ewert, я совершенно согласен с Вами. Просто на форуме вокруг этого учебника постоянно идут какие-то разговоры и он стал уже где-то как бы ну типа притчей во языцех.

ewert писал(а):

ей-же ей

Ну Вы-то уж клятвами не разбрасываетесь и обеты сдерживаете, в отличие от.

Позволю каламбур-с "Не сдержан в обеде, да сдержан в обете".

[ewert]

(Оффтоп)

gris в сообщении #335351 писал(а):

Вы этот учебник на букву З, по-моему, не читали из принципу

Да, не читал. Но -- нет, вовсе не из прынцыпу, а просто он гораздо позже меня появился на свет. И потом -- не очень уж хорошие отзывы про него носятся в пространстве, шибко уж зациклен он на красивых как бы формально доказательствах и формулировках, в ущерб идейности их же. Да и что там отзывы; я вот и сам, ей-же ей, несколько страниц прочитал. Все отзывы подтверждаю: и всё грамотно (тут правда говорили о неких ошибках, но я не считаю это принципиальным). И многое -- ненужно эстетично.

gris в сообщении #335351 писал(а):

В нём начальные сведения о рядах излагаются на параграф раньше, чем пределы функций.

Вот это -- как раз бессмысленной попыткой оптимизация и называется. Деццки-наивная надежда на то, что, дескать, если развести пределы последовательностей и пределы функций, то вот мы, вот мы щаз аж сразу пять копеек и сэкономим. Фиг. Идеологию разрывать нельзя.