Как решать СНАУ

[p0]

Имеется NxN СНAУ с неизвестными у которых степени > 1. Методы решения СНAУ(в частности метод Ньютона) требует приведения СНAУ к виду :
$ \left\{ \begin{array}{l} X1 = ..\\ .\\ Xn = .. \end{array} \right. $

Далее в методе потребуется вычислять X. Но ведь корней будет несколько. Как вычислять подобные СНAУ?

[Padawan]

Допустим у Вас система уравнений $F_i(x_1,\ldots, x_n)=0$, $i=1,\ldots, n$, или в векторном виде $F(x)=0$, где $F=(F_1,\ldots, F_n)$, $x=(x_1,\ldots , x_n)$. Запишите, как по-Вашему выглядит алгоритм метода Ньютона? В общем виде.

[p0]

Вот примерный алгоритм:
1. Система приводится к виду
$ \left\{ \begin{array}{l} X1 = ..\\ .\\ Xn = .. \end{array} \right. $
2. Задается начальный вектор решения
3. Решение ищется как итеративный процесс по формуле
$ X^{(k+1)}=X^{(k)}-A_{k}^{-1}F(X^{(k)}), k = 0,1,2.. $
где $A_{k}$ - Матрица Якоби, k - номер итерации

-- Сб июн 26, 2010 13:13:25 --

Разобрался, спасибо!

-- Сб июн 26, 2010 13:41:13 --

А что делать если матрица A вырожденная? И как проверить сходимость?

[alekcey]

p0 в сообщении #335317 писал(а):

Имеется NxN СНAУ с неизвестными у которых степени > 1. Методы решения СНAУ(в частности метод Ньютона) требует приведения СНAУ к виду :
$ \left\{ \begin{array}{l} X1 = ..\\ .\\ Xn = .. \end{array} \right. $

Далее в методе потребуется вычислять X. Но ведь корней будет несколько. Как вычислять подобные СНAУ?

В случае СНАУ применение метода Ньютона уже анахронизм, да и в случае со СНУ тоже.
Алгебраические уравнения более ли менее поддаются теоретизации, и современные пакеты находят численным способом ВСЕ корни таких систем. Тем более, количество корней известно заранее. Другое дело, не все способы одинаково успешны, но, например, Математика довольно шустро орудует где-то примерно до n=9. Для n=1 не замечено какого-либо ограничения по степени даже у маленького Derive.
Если же речь идёт об учебном процессе, то, наверное, можно не обращать внимания на данное сообщение…

[Padawan]

alekcey
А какая разница. Метод Ньютона служит для уточнения корни. В любом случае его надо сначала отделить, в смысле первое приближение найти. Метод Ньютона тоже позволяет все корни найти.

[alekcey]

Padawan в сообщении #335425 писал(а):

alekcey
А какая разница. Метод Ньютона служит для уточнения корни. В любом случае его надо сначала отделить, в смысле первое приближение найти. Метод Ньютона тоже позволяет все корни найти.

Практика показывает, что уточнять и находить корни можно без метода Ньютона. Потом, есть СНУ с числом переменных большим числа уравнений… А для алгебраических уравнений вовсе нет необходимости в начальных приближениях – там имеется оценка области… Для СНУ вообще картина, конечно, немного другая, но и здесь уже много наработок, как без начальных точек, так и без частных производных. Например, решение краевых задач для ОДУ очень громоздко с использованием частных производных, да и потеря точности при увеличении размерности имеет место.
Нет, метод Ньютона можно оставить для учебного процесса, но тогда в учебниках надо немного подробнее расписывать его идеологию, а не те формальные выкладки, почему-то сопровождаемые рисунком на плоскости…

[Padawan]

Не буду спорить, я не специалист. Знаю только, что Канторович его разрабатывал в абстрактной форме. В Канторовиче, Акилове "ФА".

[alekcey]

Padawan в сообщении #335438 писал(а):

Не буду спорить, я не специалист. Знаю только, что Канторович его разрабатывал в абстрактной форме. В Канторовиче, Акилове "ФА".

Не там ли говорится об условии сходимости, его скорости и оценке близости к решению через величину невязки? Упускается только маленький момент, о поиске начального приближения…