Задача на условные вероятности

[vtl]

Найти Р(А/В) и Р(В/А) зная, что: P(-A-B)=0,7; P(-(A-B))=0,6; P(-(-AB))=0,8. P.S. обозначил через -A=$\overline{A}$, уж простите.
Решение.
P(-(A-B))=1-P(A-B)=1-P(A)(P(-B/A)=1-P(A)(1-P(B/A)) (1)
P(-(-AB))=1-P(-AB)=1-P(B-A)=1-P(B)(P(-A/B)=1-P(B)(1-P(A/B)) (2)
Расписав P(-A-B)=P(-В-А) два раза, получаю Р(А) и Р(В) а потом подставляю их в (1) и (2).
Из Р(-А-В) получаю Р(А)=0,1, а из Р(-В-А) получилась отрицательная Р(В).
И закралось подозрение, что решать нужно совсем не так.
Помогите, завтра идти сдаваться!

[Хорхе]

Ничего нельзя понять, запишите с помощью ТеХа, как диктуют правила.

[vtl]

$P(\overline{AB})=0,7; P\overline{(\overline{A}B)}=0,8; P\overline{(\overline{B}A)}=0,6; $
Решение.
$P\overline{(\overline{A}B)}=1-P(B\overline{A})}=1-P(B)}P(\overline{A}/B)}=1-P(B)}(1-P(A/B)). P\overline{(\overline{B}A)}=1-P(A\overline{B})}=1-P(A)}P(\overline{B}/A)}=1-P(A)(1-P(B/A)).$
С одной стороны
$P(\overline{AB})=P(\overline{A})P(\overline{B}/\overline{A})=P(\overline{A})(1-P(B/\overline{A}))=P(\overline{A})(1-P(\overline{A}B)/P(\overline{A}))$
откуда получил Р(А)=0,1
С другой
$P(\overline{AB})=P(\overline{BA})=P(\overline{B})P(\overline{A}/\overline{B})=P(\overline{B})(1-P(A/\overline{B}))=P(\overline{B})(1-P(\overline{B}A)/P(\overline{B}))$
откда получается отрицательное Р(В).
Р(А) и Р(В) собирался подставить в 1 и 2-е уравнения и оттуда найти зависимые вероятности, но раз Р(В)<0 то подумал что все мое решение - бред. А как нужно делать подобные задачи не знаю.

[Хорхе]

Может быть, и не бред, но как-то все через пень-колоду. Посчитайте $P(AB)$, $P(\overline A B)$, $P(A \overline B)$. Потом напишите $A = AB + A\overline B$ и аналогично для $B$. А оттуда до ответа рукой подать.

[vtl]

$P(\overline{A}B)=0,2; P(\overline{B}A)=0,4$
Там где $P(\overline{AB})$ имеется в виду вероятность произведения не А и не В, а не противоположное к Р(АВ) событие, написать формулой такое у меня не выходит -)
По поводу $A=AB+A\overline{B}$ не совсем ясно: события $AB$ и $A\overline{B}$ вроде как зависимы и вероятность их суммы не равна сумме вероятностей.

[Хорхе]

А, ну тогда в каком-то смысле даже проще: найдите $P(A\cup B)$, а потом из него и $P(A\overline B)$, $P(B\overline A)$ легко найти $P(AB)$, $P(A)$ и $P(B)$.

[vtl]

$P(A\overline{B})=...=P(A)-P(AB); P(B\overline{A})}=...=P(B)-P(AB);$

А третье условие Р(неАнеВ)=0,7 мне дает ошибку. Может распишете его правильно?
На счет Р(АUB) не понял.

[Shtirlic]

Ваше решение особо не разбирал, но если сделать так:
$P(AB)=P(A)P(B/A)=0,3$ и $P(AB)=P(B)P(A/B)=0,3$, а остальные условия оставить как у вас есть, то дальше довольно просто находятся P(A/B) и P(B/A).

-- Сб июн 26, 2010 14:52:30 --

И кстати, $\overline{AB}=\overline{A}\overline{B}+\overline{A}B+A\overline{B}$, так что у вас 1 условие расписано неправильно.

[--mS--]

vtl в сообщении #335216 писал(а):

Там где $P(\overline{AB})$ имеется в виду вероятность произведения не А и не В, а не противоположное к Р(АВ) событие, написать формулой такое у меня не выходит -)

Наведите мышку: $P(\overline A \, \overline B)$, $P(\overline A \; \overline B)$, $P(\overline A \ \overline B)$, $P(\overline A \quad \overline B)$, $P(\overline A \cap \overline B)$, $P(\overline A \cdot \overline B)$

В остальном Вы правы: данные значения вероятностей невозможны: если в условии $\mathsf P(\overline A \cap \overline B)=0,7$, и $\mathsf P\left(\overline{\overline B \cap A}\right)=0,6$, то сразу же $\mathsf P(\overline B \cap A)=0,4$.

Тогда $\mathsf P(\overline B)=\mathsf P\bigl((\overline B \cap A)\cup(\overline B \cap \overline A)\bigr)=\mathsf P(\overline B \cap A)+\mathsf P(\overline B\cap \overline A)=0,7+0,4=1,1$.

Так и сообщите преподавателю: невозможно, чтобы такими были вероятности в условии. Если только $0,7$ - это действительно $\mathsf P(\overline A \cap \overline B)$, а не $\mathsf P(\overline {A B})$: в последнем случае всё нормально.

И ещё: разберитесь с независимыми и несовместными событиями, а то фраза "события $AB$ и $A\overline B$ вроде как зависимы и вероятность их суммы не равна сумме вероятностей" наводит на грустные размышления. Будь эти события независимы, вероятность их объединения почти наверняка не равнялась бы сумме вероятностей: независимые события обычно пересекаются. А раз они зависимы, то есть шанс. А если учесть, что они несовместны (не пересекаются), то вероятность их объединения как раз и равна сумме вероятностей.

[vtl]

to --mS--
ясно по всем пунктам, спасибо!

[vtl]

Спасибо, господа, за помощь.