Решить нелинейное ДУ

[stas_ogl]

Помогите найти аналитическое решение следующего ДУ ${\psi}_{x}{\psi}_{zx}-{\psi}_{z}{\psi}_{xx}=ax-bz$, где $a$ и $b$ - некоторые константы. Линии тока ${\psi}(x,z)$ должны иметь замкнутый вид. Если нет точного аналитического решения, то подскажите какой устойчивый численный метод можно применить к такому типу НДУЧП. Заранее спасибо.

[mitia87]

Если уж дойдете до счета, вот вам (тривиальный) тест для случая $ b = 0$:
$\psi(x, z) = a \left ( \frac{x^3}{6} + c_1 x + c_2\right ) + z,$
где $c_1, c_2$ - произвольные постоянные.
Ещё напрашивается для упрощения счета такое вот сведение:
$\psi_x = \phi \psi_y$
$(\psi_y)^2 \phi_x = a x - by$
А с учетом требования замкнутости линий лучше бы наверно исходные (интегральные, интегро-дифф.) уравнения привести. В них это проще отразить.

[stas_ogl]

Вышеприведенное уравнение получается из системы
$ \left\{ \begin{array}{l} u{\frac {\partial w}{ \partial x}}+w{\frac {\partial w}{ \partial z}}=ax-bz,\ \ (1)\\ {\frac {\partial u}{ \partial x}}+{\frac {\partial w}{ \partial z}}=0.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{array} \right. $
путем введения функции тока $u={\frac {\partial \psi}{ \partial z}}$, $w=-{\frac {\partial \psi}{ \partial x}}$, где (1) -проекция на ось $z$ уравнения движения идеальной жидкости в форме Эйлера с модифицированной правой частью, (2) - уравнение неразрывности.
В случае наличия более простой правой части уравнения ${\psi}_{x}{\psi}_{zx}-{\psi}_{z}{\psi}_{xx}=a-bz$, есть аналитическое решение, полученное методом Фурье ${\psi(x,z)}={\frac 1 k }{\sqrt{2az-bz^2}}\cos kx$, где $k, a, b - const$.
Также я искал решение численно методом наименьших квадратов (из семейства методов взвешенных невязок) в прямоугольной области $\Omega=\{0<x<l, 0<z<h\}$. Пробную функцию взял в виде $\tilde \psi(x,z)=\sum\limits_{i=1}^M \sum\limits_{j=1}^N A_{ij}\sin(iax)\sin(jbz)$, где $b={\frac \pi h}, a={\frac \pi l}$. Функция тока принимает нулевые значения на границах.
Потом я находил коэффициенты $A_{ij}$ из условия $\int\limits_{0}^l \int\limits_{0}^h {\frac{\partial R}{\partial A_{mn}}}Rdxdz$, где $R$ - невязка, путем решения получившейся системы нелинейных уравнений в Maple 13.
При $M=N=2$ и $a=0.000014 $ $b=0.00014$ для области $(2\times 30)$ получаем
$\\A_{11} = 0.7532777981e-1, \\A_{12} = 0.2595713853e-1, \\A_{21} = 0.2213880399e-1, \\A_{22} = -0.1916186639e-1.$
при $M=N=3$
$\\A_{11} = 0.4582122947e-1,\\A_{12} = 0.3864171903e-1,\\A_{13} = 0.4339343687e-2,\\A_{21} = 0.3319366815e-1,\\A_{22} = -0.1658566256e-1,\\A_{23} = -0.8507634151e-2,\\A_{31} = 0.1085024794e-3,\\A_{32} = -0.1054548270e-1,\\A_{33} = 0.5609130490e-2.$
При следующих $M$ и $N$ возникают трудности при решении системы нелинейных уравнений (отделение нужного корня), скорость счета. Возникают вопросы: как определить насколько точен результат, сходимость этого процесса. Может быть есть более эффективный численный метод? Если кто сталкивался с этим, поделитесь.