А так нельзя?
Производня исходной функции равна (по определению)
![$f'(x)=x\sin(\frac{1}{x})$ $f'(x)=x\sin(\frac{1}{x})$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/a/8caeea07869c881082b915bcc637cda782.png)
.
Эта функция просто не определена в точке 0 по обычным правилам для ОДЗ элементарных функций, хотя предел в нуле она имеет.
Значит устранимый разрыв.
Понятно, что саму функцию (в случае устранимого разрыва ) мы можем доопределить, но производную никогда. Точнее можем тоже, но тогда уже тот смысл, который вкладывается в производную будет утерян. Понятно что при приближении к нулю касательная не будет иметь какого-либо определенного направления.
В этом и отличие, то есть если разрыв (когда это возможно) мы можем устранить доопределив (или переопределив значение функции в точке), то вот с касательной такой фокус не проходит. Если нет касательной в точке, то как не меняй значение функции в этой точке, все равно касательной не построить.