Нечётное совершенное число

[Руст]

Докажите, что нечётное совершеное число не делится на 105.

[RIP]

Допустим противное $n=3^\alpha5^\beta7^\gamma m-$нечетное совершенное, $\alpha,\beta,\gamma\ge1, (m,105)=1.$
Расписываем $\sigma(n)=2n$:

$$\frac{3^{\alpha+1}-1}2\cdot\frac{5^{\beta+1}-1}4\cdot\frac{7^{\gamma+1}-1}6\cdot\sigma(m)=2n.$$

Значит, ровно один из сомножителей слева четный, причем он не делится на 4. Это сразу дает, что $\alpha$ и $\gamma$ четные, следовательно не меньше 2. Но тогда

$$\frac{\sigma(n)}{2n}=\frac{(3-3^{-\alpha})(5-5^{-\beta})(7-7^{-\gamma})}{96}\frac{\sigma(m)}m\ge\frac{(3-3^{-2})(5-5^{-1})(7-7^{-2})}{96}>1$$

, если не врет калькулятор.