Противостояние Солнца, Земли и Марса.

[Iga]

Задача: В момент противостояния Солнце, Земля и Марс находятся на одной прямой (Земля расположена между Солнцем и Марсом). Планеты обращаются вокруг Солнца в одном направлении. Марсианский год продолжается дольше земного в $k = 1.88$ раза. Радиус земной орбиты $R_E = 1.50*10^{11}$ м. Считая, что планеты обращаются вокруг солнца по концентрическим окружностям, лежащим в одной плоскости, найдите минимальное расстояние $r$ между Марсом и Землей, а также промежуток времени $\tau$ между двумя последовательными противостояниями.

Минимальное расстояние $r$ я нашел: $r = R_E \left(k^{2/3}-1\right) \approx 7.9*10^{10} $ м, а вот найти $\tau$ никак не получается. Подскажите как это сделать.

[gris]

Предполагаем также, что планеты двигаются по орбитам равномерно.
У какой планеты угловая скорость (можно в оборотах за земной год) больше и во сколько раз?
Напишите уравнение для момента следующей встречи. Оно линейно относительно времени движения. Более быстрая планета должна обогнать более медленную ровно на один оборот. Тогда и произойдёт следующее противостояние. Этот промежуток равен синодическому периоду.

[Me-and-myself]

(Оффтоп)

Это из МФТИ задачка, да?
Я тоже её не решил...

[Iga]

Угловая скорость Земли: $\omega_E = \frac {2\pi}{T_E} = \frac {2\pi}{31536000 c} \approx 1.99*10^{-7} c^{-1}$
Угловая скорость Марса: $\omega_M = \frac {2\pi}{T_M} = \frac {2\pi}{1.88*T_E} = \frac {2\pi}{59287680 c} \approx 1.06*10^{-7} c^{-1}$
Исходя из этого, угловая скорость Земли больше в 1.88 раз, чем угловая скорость Марса.

А дальше я поступил так. Пусть $n_E$ - число оборотов, пройденных Землей за время $\tau$, а $n_M$ - число оборотов, пройденных Марсом за время $\tau$. Тогда $n_E=\frac \tau {T_E}$, а $n_M=\frac \tau {T_M}=\frac \tau {kT_E}$.
Но ведь за это время Земля совершила ровно на один оборот больше Марса, значит $n_M=n_E+1$.
Получается, что $\frac \tau {kT_E} = \frac \tau {T_E} +1 \Rightarrow \tau = \frac {kT_E}{0.88} \approx 6.7*10^7 c$
Правильно ли я сделал?

(Оффтоп)

to Me-and-myself: Да это из МФТИ...

[gris]

Правильно. Только я бы не стал так напрягаться. Всё равно у нас условия несколько отличаются от настоящих. Величину года в секундах Вы тоже посчитали приближённо .
Я бы считал угловую скорость в оборотах за год.

Тогда $\dfrac t1-\dfrac t{1,88}=1$

Решение такое же, как у Вас. Но в условии говорится о земных годах, значит и ответ должен быть в земных годах.
Ну это моё личное мнение. Хотя единицы СИ... И у Вас же знак приближённого равенства. В общем, всё правильно.

[Iga]

Ясно, спасибо.
А не натолкнете на мысль вот с этой задачей: В цирковом аттракционе мотоциклист движется по внутренней поверхности сферы радиусом $R=8.5$ м, оставаясь все время на $h=5.1$ м выше центра сферы. При какой минимальной скорости $V_{min}$ это возможно, если коэффициент трения $\mu=0.92$?

Как я понял, высота $h$ это расстояние от центра до точки соприкосновения колес мотоцикла со сферой? Значит мотоциклист движется по окружности радиусом $r=\sqrt{R^2-h^2}=6.8$ м. И ускорение $a_n$ направлено в центр малой окружности радиусом $r$. И у меня возникает сложности с написанием уравнений для $0x$ и $0y$

[Виктор Ширшов]

Iga и Me-and-myself. Вы знаете хотя бы один закон планетных движений Кеплера?

[Iga]

Виктор Ширшов
Слышал о третьем, в котором установлено, что для планет, имеющих орбиту близкую к круговой, отношение квадрата периода обращения к кубу радиуса орбиты величина одинаковая равная $\dfrac {T^2}{r^3}=2.9*10^{-30} \dfrac {c^2}{m^3}$

[Виктор Ширшов]

Iga в сообщении #333785 писал(а):

Виктор Ширшов
Слышал о третьем,

Не помешало бы слухи проверить.

[Iga]

Виктор Ширшов в сообщении #333786 писал(а):

Не помешало бы слухи проверить.

Ну значит не законы Кеплера слышал... К тому же я их ещё не проходил, а задачи, извините, надо решить.

[gris]

Понимаю педантичную скрупулёзность уважаемого Виктора Ширшова, но речь идёт об учебной задаче, где автор совершенно правильно применил приближение 3-го закона Кеплера в рамках приближённой модели.
Мы всё-таки не в дискуссионном разделе .

[Виктор Ширшов]

Iga в сообщении #333791 писал(а):

Ну значит не законы Кеплера слышал... К тому же я их ещё не проходил, а задачи, извините, надо решить.

Срочно изучите третий, а ещё прислушайтесь к совету gris
о синодическом периоде. По моему он говорит о формуле $\frac{1}{N}-\frac{1}{P}$, где один из параметров нижней ($N$) и верхней ($P$) планет.

[Iga]

gris
А как насчет второй то задачи. Мои предположения правильны? Или нет?

[gris]

Формулу Вы правильно написали, правда высота означает расстояние от центра до плоскости движения мотоциклиста. Расстояние до его колёс равно радиусу.
Но радиус окружности именно такой. Я вот чего-то торможу. Мне кажется, что колёса мотоцикла перпендикулярны сфере. Или это не влияет? Можно найти давление на колёса и силу трения.

[Me-and-myself]

Виктор Ширшов
Закон я этот не знаю, или знаю приближённую теорию и формулы, но не знаю, что это и есть законы Кеплера....
А насчёт второй задачи, я кстати её решил, только много сил не понимал, где и как уравнивать...
Тут надо правильный рисунок накидать и самому все силы нарисовать, тогда поймёшь...