Наименьшие решения уравнения Ферма в натуральных числах

[Виктор Ширшов]

tapos. Предположим $11^7+10^7=12^7$.
Из Вашего ответа AD (надеюсь, он меня простит)

tapos в сообщении #333159 писал(а):

5.Ответ для AD
Ваш вопрос: Ну давайте поговорим о (2, 3, 5), (1, 4, 5), если предпочитаете ноль натуральным числом не считать.
Ответ:
Если эти тройки чисел являются решением уравнения Ферма, то наименьшим решением будет тройка (1, 4, 5). Я говорю «если», так как для иных целей может быть установлено другое правило определения наименьшей тройки. У нас цель - найти наименьшее решение при условии b<a<c, поэтому первым мы ищем решение для самого маленького числа в тройке - числа b. Если таких троек окажется несколько, то среди найденных троек выбираем наименьшую по минимальной величине числа a

в соответствии с Вашим "уникальным" подходом

tapos в сообщении #333159 писал(а):

Наш подход состоит в том, что мы преобразовываем уравнение Ферма $a^n+b^n=c^n$ и на основе свойств натурального ряда чисел приходим к выводу о равенствах c = b + 2, a = b + 1

получается, что наименьшим решением приведённого равенства будут числа $10;11;12$
Мне ответ копировать не надо, так как он меня не удовлетворяет

[shwedka]

tapos в сообщении #333159 писал(а):

Ваш вопрос: Поскольку решения - это тройки чисел, то ссылка на классические теоремы, где говорится о существовании наименьшего элемента в множестве натуральных чисел, некорректна. Если Вы знаете теорему о существовании наименьшего элемента в множестве троек натуральных чисел, пожалуйста, процитируйте.
Ответ: Раздел 1 в сообщении 10 на странице 7 в этой теме. Теорема 27. В каждом непустом множестве натуральных чисел имеется наименьшее число (то есть меньше любого другого возможного числа того же множества).

Ответ дан не по существу. Повторяю, Теема 27 говорит о множествах натуральных чисел. Вы ее пытаетесь применить к множеству троек, что недопустимо.

tapos в сообщении #333159 писал(а):

Ваш вопрос: Неверно, так как тройка чисел - объект иной природы, чем число. Тройка - это не частный случай числа, поэтому ее свойства не следуют из свойств чисел. Вы, по крайней мере, не доказали, что множество троек является подмножеством множества чисел, поэтому ссылка на закон дедукции некорректна. Можно будет обсуждать, когда Вы это докажете.
Ответ: Раздел 1 в сообщении 10 на странице 7 в этой теме. Аксиомы 1 и 2 натурального ряда утверждают, что есть число 1 и бесконечный ряд чисел, так как у каждого натурального числа есть последующее. Поскольку натуральный ряд чисел бесконечный и включает все натуральные числа, то он также включает любую тройку натуральных чисел. Бесконечность заведомо больше трех. Поэтому объем натурального ряда больше объема любой тройки чисел натурального ряда. Мы используем только те свойства троек натуральных чисел, которые присущи всем натуральным числам.

Ответ дан не по существу. Да, тройка это подмножество множества натуральных чисел, и для чисел в тройке верны теоремы о наименьшем ЧИСЛЕ. Вы же говорите о наименьшей ТРОЙКЕ. Множество троек не является подмножеством множества натуральных чисел. Объем натурального ряда НЕ БОЛЬШЕ объема множества троек. Вы подменили предмет Вопроса.

tapos в сообщении #333159 писал(а):

Поскольку знаком равенства соединены одни и те же числа, и число b является натуральным по определению, то извлечение корня n - й степени из разности $c^n - a^n$ должно дать натуральное число b.

Вы не привели никакого определения числа $ b$. Поэтому ссылаться на это нельзя.
Напишите подробно то определение этого числа, которым Вы пользуетесь.

tapos в сообщении #333159 писал(а):

Ваш вопрос: Приведенное рассуждение безупречно. Оно, действительно, определяет условие, при котором УФ имеет решение с наименьшим b. Однако, нас интересуют решения с целочисленным b. Покажите, в каком месте этого рассуждения установлено, что найденное наименьшее b целочисленно.
Ответ: На этой стадии доказательства мы еще не пришли к противоречию. Поэтому доказать или опровергнуть утверждение о целочисленности невозможно. Хотя практика говорит следующее: $3^2 = 5^2 - 4^2$. Но $3^3 <> 5^3 - 4^3$. Таким образом, однозначного ответа нет. Необходимы дальнейшие преобразования уравнения Ферма, чтобы найти однозначный ответ.

Ответ не получен. Докоазательство целочисленности $b$ не дано. Тем не менее, непосредственно ниже

tapos в сообщении #332896 писал(а):

Второй этап. Найдем находим условие, при котором уравнение Ферма имеет решения с наименьшими значениями a при сохранении условия для решений с наименьшими значениями числа b
Из уравнения Ферма выразим $a^n$
$a^n = c^n - b^n$
Наименьшее значение числа $a^n$, а, следовательно, и числа a достигается при максимальном значении числа $b^n$, а, следовательно, и числа $b$. Это утверждение является следствием аксиом натурального ряда. Максимальное значение числа b равно предшествующему числа с. В соответствии с аксиомами натурального ряда числу с предшествует число c - 1. Следовательно, b = c - 1 или c - b = 1.

Вы перебираете только целочисленные b, делая вид, что целочисленность уже установлена. Но этого не сделано.

[r-aax]

tapos в сообщении #333159 писал(а):

2.Ответы для r-axx
Ваш вопрос: Уравнение принимает вид $(c - 1)^n + b^n = c^n$. Про это уравнение из первоначального предположения ничего сказать нельзя. Нельзя определить, имеет ли оно решения или нет. А Вы работаете с ним далее из предположения, что оно имеет решение. Из чего это следует?
Ответ: если не трудно, то прочитайте ответы здесь же на вопросы swedka. Если будете настаивать, то я повторю ответ специально для Вас.
Ответы на все остальные Ваши вопросы, по моему мнению, даны здесь же в ответах для swedka.

Прочитал ответы swedka и "обновленное" доказательство. Ничего нового в нем нет, кроме перечисления аксиом натуральных чисел, приводить которые абсолютно излишне. Как и в первоначальном доказательстве в рассуждениях остается дырка начиная со следующего момента:

tapos в сообщении #332896 писал(а):

Первый этап. Найдем условие, при котором уравнение Ферма имеет решения с наименьшими значениями b.
Из уравнения Ферма выразим $b^n$
$b^n = c^n - a^n$
Наименьшее значение числа $b^n$, а, следовательно, и числа b достигается при максимальном значении числа $a^n$, а, следовательно, и числа a. Это утверждение является следствием аксиом натурального ряда. Максимальное значение числа a равно предшествующему числу числа с. В соответствии с аксиомами натурального ряда числу с предшествует число c - 1 и никакое другое. Следовательно, a = c - 1 или c - a = 1. Таким образом, при условии c = a + 1 разность $c^n – a^n$ достигает наименьшего значения, следовательно число $b^n$ достигает наименьшего значения и, следовательно, число b достигает наименьшего значения.

Это рассуждение ошибочно. Конкретно в следующей фразе:

tapos в сообщении #332896 писал(а):

следовательно число $b^n$ достигает наименьшего значения и, следовательно, число b достигает наименьшего значения.

Где гарантия, что $b$ будет натуральным? Ее нет и быть не может.

[tapos]

В основе возможности совершения алгебраических преобразований лежит предположение о том, что обе части уравнения являются одним и тем же. Большинство вопросов ко мне со стороны участников дискуссии тем или образом касаются проблемы предположения об одном и том же.
Поэтому я решил более подробно этот вопрос изложить.
1.Swedka в качестве аргумента против предположения об одном и том же обеих частей уравнения привела пример: x = x + 1, который по ее мнению, говорит о том, что знаком равенства соединяются не только тождественные объекты, но и явно абсолютно различные объекты.
Для того, чтобы установить тождественность объектов или не тождественность объектов мы должны тождественно преобразовать эти объекты к более простому виду. А для осуществления алгебраических преобразований мы должны сделать допущение о тождественности объектов, так как только в этом случае имеется набор средств для использования тождественных алгебраических преобразований. Поэтому выдвинем гипотезу: обе части уравнения представляют собой один и тот же объект и, следовательно, уравнение имеет решение при всех значениях x. Выдвинутое нами предположение позволяет проводить алгебраические преобразования. Вычтем из обеих частей уравнения x. Получим 0 = 1. Это уравнение тождественно уравнению x = x + 1. Такое равенство невозможно. Иными словами мы явно установили противоречие. Следовательно, наше гипотеза оказалась ошибочной. И мы делаем вывод: обе части уравнения x = x + 1 не являются одним и тем же и поэтому уравнение x = x + 1 не имеет решений ни при каких x.
2.Рассмотрим следующее уравнение $x^2 + 2x + 1 + 5 = (x + 1)^2 + 5$. Выдвинем гипотезу: обе части уравнения представляют собой один и тот же объект и, следовательно, уравнение имеет решение при всех значениях x. Выдвинутое нами предположение позволяет проводить алгебраические преобразования. Раскрываем скобки и вычитаем из обеих частей уравнение $x^2 + 2x + 6$. Получим 0 = 0. Это уравнение тождественно исходному. Мы получили явное равенство. Следовательно, делаем вывод: наша гипотеза оказалась правильной. Поскольку уравнение имеет решение при всех значениях x, то уравнение является тождеством.
3.Рассмотрим следующее уравнение $x^2 - 2x = 2x - 3$. Выдвинем гипотезу: обе части уравнения представляют собой один и тот же объект и, следовательно, уравнение имеет решение при всех значениях x. Выдвинутое нами предположение позволяет проводить алгебраические преобразования. Вычтем из обеих частей уравнения 2x – 3. Получим $x^2 - 4x + 3 = 0$. Это уравнение тождественно исходному. Решив это уравнение, получим два решения $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Следовательно, наше гипотеза оказалась ошибочной. И мы делаем вывод: обе части уравнения $x^2 – 2x = 2x – 3$ не являются одним и тем же для всех x. Обе части уравнения являются одним и тем же только для двух значений $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Вывод: предположение о том, что обе части уравнения представляют собой одно и то же, является необходимым условием для осуществления алгебраических преобразований. Без этого предположения невозможно применять тождественные алгебраические преобразования. И, наоборот, если мы применяем алгебраические преобразования, то мы неявно предполагаем, что обе части уравнения являются одним и тем же и поэтому уравнение имеет решение для всех значений неизвестных из области определения.
Таким образом, предположение о том, что обе части уравнения являются одним и тем же и уравнение имеет решение для всех значений неизвестных из области определения, необходимо для применения тождественных преобразований с тем, чтобы подтвердить это предположение, опровергнуть это предположение или подтвердить частичную справедливость этого предположения. Такова логика решения математических уравнений.
Как видим, никаких противоречий с практикой нет. К сожалению, некоторые участники настоящей дискуссии, изложенное не принимают во внимание, что влечет бесчисленные вопросы с их стороны по области определения неизвестных в уравнении Ферма.

[age]

tapos в сообщении #333159 писал(а):

А вот это Ваше утверждение: «что справедливо для натуральных чисел необязательно будет справедливо для троек» является ошибочным.

Для натуральных чисел справедливо, что $a\ |\ b\ |\ c$. Покажите, как это будет справедливо для троек $a^n+b^n=c^n$

tapos в сообщении #333159 писал(а):

Ваш вопрос: Не только, еще и при минимальном значении $c^n$. Например, $5^n - 4^n < 10^n - 9^n$
Ответ: естестественно можно искать минимальные решения при минимальном c. Но поскольку мы установили, что b < a < c, то найдя наименьшее значение c, очень трудно обосновать величины a, b в силу неоднозначности разложения суммы $a^n + b^n$ на слагаемые.

1. Так минимальное решение будет при минимальном или при максимальном $c$?
2. Т.е. трудно обосновать, когда решение будет действительно минимальным?

-- Пн июн 21, 2010 20:21:49 --

tapos в сообщении #333159 писал(а):

Ваш вопрос: Ну давайте поговорим о (2, 3, 5), (1, 4, 5), если предпочитаете ноль натуральным числом не считать.
Ответ: Если эти тройки чисел являются решением уравнения Ферма, то наименьшим решением будет тройка (1, 4, 5). Я говорю «если», так как для иных целей может быть установлено другое правило определения наименьшей тройки. У нас цель - найти наименьшее решение при условии b < a < c, поэтому первым мы ищем решение для самого маленького числа в тройке - числа b.

Напомнило мне во что:
Теорема Вильсона утверждает, что $((p-1)!+1)\div p$, если $p$ - простое число.
Вовочка тянет руку:
- Мария Ивановна! Я доказал! Надо раскрыть скобки:
$(p-1)!+1=p!-1!+1=p!\div p$.

[PAV]

tapos, Ваши сообщения весьма определенно говорят о существенных пробелах в Вашем математическом образовании. Непонимание соотношений между элементарными математическими объектами: натуральное число, тройка натуральных чисел, множество натуральных чисел, множество троект натуральных чисел. Непонимание того, какие свойства чисел переносятся на тройки, а какие - нет. Вы также не отвечаете по существу на заданные вопросы, а приводите либо пространное изложение известных (с первого курса) вещей или просто банальностей, которые всем понятны, но отношения к заданным Вам вопросам не имеют. Судя по всему, Вы суть вопросов и претензий просто не осознаете.

Если так пойдет и дальше, то в самом ближайшем будущем тема может быть закрыта. При таком уровне математических знаний, который Вы демонстрируете, вести содержательный разговор на нашем форуме - это пустая трата времени.

[age]

tapos в сообщении #333513 писал(а):

Таким образом, предположение о том, что обе части уравнения являются одним и тем же и уравнение имеет решение для всех значений неизвестных из области определения, необходимо для применения тождественных преобразований с тем, чтобы подтвердить это предположение, опровергнуть это предположение или подтвердить частичную справедливость этого предположения. Такова логика решения математических уравнений.

Предположение о том, что $b^n=c^n-a^n$ подтверждено или опровергнуто? Являются ли у вас обе части уравнения одним и тем же? Или как и $x+1=x$ не являются?

[r-aax]

tapos в сообщении #333513 писал(а):

В основе возможности совершения алгебраических преобразований лежит предположение о том, что обе части уравнения являются одним и тем же.

tapos в сообщении #333513 писал(а):

Вывод: предположение о том, что обе части уравнения представляют собой одно и то же, является необходимым условием для осуществления алгебраических преобразований.

tapos в сообщении #333159 писал(а):

2.Ответы для r-axx
Ваш вопрос: Уравнение принимает вид $(c - 1)^n + b^n = c^n$. Про это уравнение из первоначального предположения ничего сказать нельзя. Нельзя определить, имеет ли оно решения или нет. А Вы работаете с ним далее из предположения, что оно имеет решение. Из чего это следует?

Значит Вы все же предполагаете, что уравнение $(c - 1)^n + b^n = c^n$ имеет решение в натуральных числах?

[shwedka]

tapos в сообщении #333513 писал(а):

предположение о том, что обе части уравнения представляют собой одно и то же, является необходимым условием для осуществления алгебраических преобразований. Без этого предположения невозможно применять тождественные алгебраические преобразования. И, наоборот, если мы применяем алгебраические преобразования, то мы неявно предполагаем, что обе части уравнения являются одним и тем же и поэтому уравнение имеет решение для всех значений неизвестных из области определения.

Автор принимает знак равенства ТОЛЬКО
в смысле тождества и безосновательно отвергает знак равенства в уравнениях, которые нужно решить, в уравнениях с несколькими переменными, которые задают линии и поверхности.
По его мнению, скажем,
уравнение $x^2+y^2=1$-недопустимо, так как выполнено не при всех значениях переменных,так что, если следовать автору, от уравнения окружности нужно отказаться.

[serval]

tapos писал(а):

Поскольку натуральный ряд чисел бесконечный и включает все натуральные числа, то он также включает любую тройку натуральных чисел.

Значит, натуральный ряд включает в себя множество трехмерных векторов с натуральными компонентами.
Укажите в натуральном ряду, к примеру, вектор $\vec a=(1,3,5)$.
Согласно этой логике, большая куча кирпичей содержит в себе и дом и гараж и коровник. Однако, она не обладает их свойствами - в ней нельзя ни жить ни держать скотину или машину.

[tapos]

1.Ответ для swedka
Уважаемая swedka. Мне кажется я понял суть Ваших претензий. Как мне кажется, Вы имеете ввиду следующее: поскольку решениями уравнения Ферма являются тройки натуральных чисел, и таких троек чисел много, то они являются отдельными элементами множества. Вы считаете, что множество, имеющее в качестве отдельных элементов не натуральные числа, а тройки натуральных чисел, обладает особыми свойствами, не совпадающими со свойствами натурального ряда.
Я с Вами абсолютно согласен. Но нам не требуются эти особые свойства. Нам достаточно свойств натурального ряда чисел. Мы применяем теорему 27 Эдмунда Ландау к тройкам чисел, что позволяет упорядочить тройки по величине от меньшего к большему. Далее мы записываем тройки чисел одну под другой в виде матрицы, имеющей 3 столбца и количество строк, равное количеству всех решений уравнения Ферма. Рассматриваем первый столбец, в который входят первые числа всех троек чисел. Этот столбец является подмножеством натурального ряда и, следовательно, к нему применима теорема 27 Эдмунда Ландау, что позволяет упорядочить тройки чисел по величине первого числа троек. Выбираем тройки чисел, у которых первое число меньше всех остальных.
В результате у нас появляется подмножество троек чисел из множества всех решений с наименьшим первым числом. Все первые числа в этих тройках – суть одно и то же число. Тройки чисел этого подмножества мы записываем одну под другой в виде матрицы, имеющей 3 столбца и количество строк, равное количеству троек чисел, имеющих наименьшее первое число. Рассматриваем второй столбец подмножества троек с наименьшим первым числом, в который входят вторые числа всех троек чисел этого подмножества. Этот столбец является подмножеством натурального ряда и, следовательно, к нему применима теорема 27 Эдмунда Ландау, что позволяет упорядочить тройки чисел по величине второго числа троек. Выбираем тройки чисел, у которых второе число меньше всех остальных. В результате у нас появляется подмножество троек чисел с наименьшим вторым числом из подмножества троек с минимальным первым числом. Все вторые числа в этих тройках – суть одно и то же число.
Далее по теореме 4 Эдмунда Ландау легко доказывается, что все тройки чисел второго подмножества имеют не только одинаковые первые и вторые числа, но и одинаковые третьи числа (из третьего столбца). Таким образом, все наименьшие решения уравнения Ферма совпадают между собой. А это означает, что наименьшее решение уравнения Ферма – одно единственное.
Как видите нам совершенно не понадобились специфические свойства множества, содержащего в качестве элементов тройки чисел натурального ряда. Поэтому нам нет необходимости разрабатывать теорию такого ряда.
Относительно Вашего требования о необходимости представить доказательство о том, что число b является натуральным числом. Это требование обосновано, если мы ищем решения уравнения Ферма среди действительных чисел. Но мы сразу заявили, что решения ищем среди натуральных чисел. Поэтому число b является натуральным по определению и доказывать этот факт нет необходимости.

2.Ответ для AD

AD в сообщении #332907 писал(а):

Краткое содержание первых четырех разделов:

Берутся все решения $\{(x_i,y_i,z_i)\}_i$, у которых $x_i<y_i$, и упорядочиваются лексикографически. То есть таки $(2,3,5)>(1,4,5)$.

Упорядочение произведено не по индексу, а по величине чисел. Допущение о том, что минимальное значение чисел b и a достигается при непрерывных индексах сделаны исключительно для удобства записи и для большей наглядности. Вы не обратили внимание на мои слова «пусть», «допустим» что означает предположение об индексах решений. Поэтому Вы сделали неправильный вывод. Упорядочение производится во величине чисел, входящих в решения уравнения Ферма.

[shwedka]

tapos в сообщении #334253 писал(а):

Я с Вами абсолютно согласен. Но нам не требуются эти особые свойства. Нам достаточно свойств натурального ряда чисел. Мы применяем теорему 27 Эдмунда Ландау к тройкам чисел, что позволяет упорядочить тройки по величине от меньшего к большему.

...Здесь, при лексикографическом упорядочении троек, действительно, можно свести вопрос о наименьшем элементе к вопросу о наименьшем числе.

tapos в сообщении #334253 писал(а):

Относительно Вашего требования о необходимости представить доказательство о том, что число b является натуральным числом. Это требование обосновано, если мы ищем решения уравнения Ферма среди действительных чисел. Но мы сразу заявили, что решения ищем среди натуральных чисел. Поэтому число b является натуральным по определению и доказывать этот факт нет необходимости.

Совершенно неверно. Вы ищете решение среди натуральных чисел, но, получив какое-то решение, Вы обязаны доказать, что это решение состоит из натуральных чисел.
Ссылка на 'по определению'
некорректна. В математике, определив какой-то объект, а потом получив его путем, отличным от определения, необходимо ДОКАЗАТЬ, что объект подходит под определение.
Вы же 'определения'. по которому $b$ целое, даже и не привели! Хотя я Вас об этом и просила. Приведите это определение!!
Если, скажем, принять за определение $b$ 'элемент целочисленной тройки, решающей УФ',
то Ваше $b$ - это число $(c^n-(c-1)^n)^{\frac1n}$. Это способ получения, ОТЛИЧНЫЙ от определения. Вы еще не знаете, что тройка целочисленная. ПОэтому пользоваться 'определением' для обоснования целочисленности нельзя.

[tapos]

Ну вот, уважаемые участники дискуссии. Похоже на то, что эта тема будет закрыта. Дискуссия показала, что каких-либо фатальных ошибок в моей статье нет. К недостаткам следует отнести отсутствие в статье обоснования наименьшего решения уравнения Ферма. Мне, казалось это обоснование очевидным, так как аналогичное обоснование я встречал в литературе еще 25-30 лет назад. Поэтому я не претендую на лавры первооткрывателя наименьшего решения. Что нового в статье? Новым, по-видимому, является сведение уравнения Ферма с тремя неизвестными к уравнению с одним неизвестным, что позволило обосновать формулу (уравнение) $(n + 1)^n + (n +2)^n = (n + 3)^n$
Это уравнение имеет единственное решение, если уравнение Ферма имеет хотя бы одно решение для простого показателя степени n. Это уравнение не имеет решения, если уравнение Ферма не имеет ни одного решения для простого показателя степени n.
Серьезной моей ошибкой на этом форуме является мое указание на ошибочные суждения начальства форума – модераторов. Когда-то, лет 25 назад, у меня был коллега по кафедре и мой товарищ доцент Зимин Валентин Николаевич. Это был очень опытный человек. Седым он стал в 4 года, когда находился в блокадном Ленинграде и у него на глазах съели его старшего брата. Искали и его, чтобы съесть, но не нашли – он прятался под шкафом. Так вот, Валентин Николаевич мне часто говорил: Николай Иосифович не допускай вражеских вылазок – не замечай ошибки лиц, облеченных властью. Иначе власть заявит: Если враг не сдается, то его уничтожают. По сравнению с теми временами теперешняя власть старается аргументировать свое желание уничтожить врага. Правда, аргументы укладываются в следующую не затейлевую формулу: Ты совершил преступление. Вы доказываете, что не совершали преступление. Тогда власть говорит – ты мог совершить преступление. Вы доказываете, что и не могли совершить преступление. В этом случае у власти имеется последний аргумент – ты мог хотеть совершить преступление. А вот оправдаться перед таким обвинением невозможно, так как свои хотения Вы не можете предъявить и оправдаться. Так и на нашем форуме, начальство отнесло число 0 к натуральному ряду, а я допустил вражескую вылазку и указал на этот прискорбный факт. Результат не замедлил себя ждать: у меня были обнаружены серьезные пробелы в образовании и начальство заявило о намерении закрыть эту тему.
В следующий раз я появлюсь через месяц или чуть раньше. Если тема не будет закрыта, то отвечу на все вопросы. Приношу искренние извинения участникам дискуссии, на вопросы которых я не успел ответить. Желаю всем удачи. С уважением Андрейчиков Николай Иосифович.

[r-aax]

tapos в сообщении #334419 писал(а):

Дискуссия показала, что каких-либо фатальных ошибок в моей статье нет.

Дискуссия показала, что ответа на вопрос о натуральности числа $b$ из уравнения $(c - 1)^n + b^n = c^n$ у Вас как не было, так и нет. Это первая (и не последняя) встречающаяся в статье фатальная ошибка.

-- Чт июн 24, 2010 09:14:01 --

tapos в сообщении #334419 писал(а):

К недостаткам следует отнести отсутствие в статье обоснования наименьшего решения уравнения Ферма. Мне, казалось это обоснование очевидным,

Это и является очевидным. И, как мне кажется, никто на форуме не сомневался, что что тройки натуральных чисел можно упорядочить и выбрать из них наименьшую. От Вас добивались четкого изложения своих мыслей с самого начала статьи (та же наименьшая тройка может быть определена одной формулой вместо Ваших пространных рассуждений), со строгими определениями и доказательствами. Не добились...

[PAV]

Да уж, больше, чем это сделал tapos, поставить все с ног на голову, трудно. Оказывается, все проблемы от того, что AD "отнес число 0 к натуральному ряду", а tapos "указал на этот прискорбный факт", и вообще "обличал ошибочные суждения". Цирк, да и только. Настолько не понимать суть критики и так смело фантазировать - это в полной мере подтверждает тот диагноз, который я уже упоминал данной теме ранее. В Пургаторий, однозначно. ЗУ могут что-то добавить, если считают нужным.

tapos, в дальнейшем воздержитесь от открытия новых тем по данному и близким вопросам.