Исследование функции двух переменных на экстремум

[NatNiM]

Здравствуйте.
Подскажите, пожалуйста.
Вот я нашла частные производные для функции двух переменных, записала систему уравнений, состоящую из этих частных производных для нахождения точки экстремума, но в первое уравнение зависит только от x, а второе только от y, т.е. зависимости одной от другой нет. Что это значит? Что точек экстремума нет?
Спасибо.

[lel0lel]

Ничего страшного. Находите из этой системы критические точки и исследуйте дальше.

[NatNiM]

Т.е., если у меня получились независимо друг от друга 2 значения x и 2 значения y, то взять отсюда методом комбинирования 4 точки и их исследовать обычным способом?

[Alexey1]

Если $f(x,y)=xy$, то $f_x^{'}=y, f_y^{'}=x$. Необходимо проверить точку $(0;0)$ на экстремум, так как только в этой точке выполняется необходимое условие экстремума. Если в Вашем случае точек, кандитатов на экстремум, несколько, то надо проверять каждую точку.

[NatNiM]

Ясно. Спасибо

[tikho]

Надо исследовать на экстремум функцию

$$z=x^3+8y^3-6xy+5$$

.
С начала я нахожу частные производные функции по x и y,а затем приравниваю их к нулю и составляю систему из которой получаю уравнение:

$$x^4-x=0$$

.
Решая его,я получаю два действительных корня 1 и 0,и два мнимых!Что мне делать с мнимыми,надо ли в точках с ними проверять на достаточное условие экстремума или просто отбросить,а если отбросить то почему так???????????
Подскажите пожалуйста!

[ИСН]

Никаких мнимых чисел нет, это фантастика.

[gris]

Уравнение неправильно. Откуда там 4-тая степень? Ну один корень подходит, а второй нет.

[tikho]

У уравнения

$$x^3=1$$

, решения

$$x1=x2=x3=1?$$

[lim0n]

(Оффтоп)

Для не очень одаренных

покажите получившиеся частные производные.

[tikho]

$$\frac{dz}{dx}=3x^2-6y$$

$$\frac{dz}{dy}=24y^2-6x$$

[lim0n]

Что-то непонятно с $\frac{dz}{dy}$?
У меня получается $16y-6x$.

[tikho]

Надо исследовать на экстремум функцию

$$z=x^3+8y^3-6xy+5$$

Допустил ошибку:

$$8y^3$$

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!