Последовательность: inf/ sup/ liminf / limsup.

[sasha_vertreter]

Добрый день,
я хотел бы для простой последовательности $x_n=1-\frac{1}{n}$, $(n=1,2,\cdots)$ найти
1. $\inf x_n$ ; 2. $\sup x_n$

3. $\varlimsup\limits_{n\to \infty}x_n$ ; 4. $\varliminf\limits_{n\to \infty}x_n$.
Проверьте, пожалуйста, верно ли я рассуждаю:

Определения:
1. $m=\inf\{X\}$ $\Leftrightarrow$ a) $x\geq m$, для $\forall x \in X$ b) для $\forall \varepsilon > 0$ $\exists x' \in X$ $\mid$ $x'<m+\varepsilon$.
2. $M=\sup\{X\}$ $\Leftrightarrow$ a) $x\leq M$, для $\forall x \in X$ b) для $\forall \varepsilon > 0$ $\exists x'' \in X$ $\mid$ $x''>M-\varepsilon$.
3. $\varlimsup\limits_{n\to \infty}x_n=\inf\limits_{n}\sup\limits_{k\geq n}{x_k}$
4. $\varliminf\limits_{n\to \infty}x_n=\sup\limits_{n}\inf\limits_{k\geq n}{x_k}$

Решение (пока только первые 2 пункта):
0. Когда мы говорим об $\inf x_n$ мы имеем ввиду инфимум значений последовательности: $\inf x_n = \inf\{X\} = \inf\{x\in \mathbb R \mid x=1-\frac{1}{n}, n=1,2,\ldots \}$- верно? (также и с $\sup x_n$).

1. $\inf x_n = 0$, т.к.: $n \geq 1$ $\Rightarrow$ $1-\frac{1}{n}\geq 0 $ $\forall n \in \mathbb N$, и значит $0$ - нижняя граница последовательности.
Теперь пусть дано $\varepsilon > 0$, тогда должен существовать такой номер $N'_\varepsilon$, что $x_N'=\left(1-\frac{1}{N'}\right)<(0+\varepsilon)=\varepsilon$ Это неравенство выполняется при всех $N' < \frac{1}{1-\varepsilon}$. Тогда я могу положить $N'=1$ для любого $\varepsilon < 0$, и $\inf x_n= 0$ - верно?

2. $\sup x_n = 1$, т.к.: $n \geq 1$ $\Rightarrow$ $1-\frac{1}{n}\leq 1 $ $\forall n \in \mathbb N$, и значит $1$ - верхняя граница последовательности.
Теперь пусть дано $\varepsilon > 0$, тогда должен существовать такой номер $N''_\varepsilon$, что $x_N''=\left(1-\frac{1}{N''}\right)<(1-\varepsilon)$, как только $n>N''$. Это неравенство выполняется при всех $N''> \frac{1}{\varepsilon}$. Тогда $N''=\frac{1}{\varepsilon}$, и $\sup x_n =1$ - верно?

Спасибо!

[Xaositect]

sasha_vertreter в сообщении #333330 писал(а):

Решение (пока только первые 2 пункта):
0. Когда мы говорим об $\inf x_n$ мы имеем ввиду инфимум значений последовательности: $\inf x_n = \inf\{X\} = \inf\{x\in \mathbb R \mid x=1-\frac{1}{n}, n=1,2,\ldots \}$- верно? (также и с $\sup x_n$).

Верно

Цитата:

1. $\inf x_n = 0$, т.к.: $n \geq 1$ $\Rightarrow$ $1-\frac{1}{n}\geq 0 $ $\forall n \in \mathbb N$, и значит $0$ - нижняя граница последовательности.
Теперь пусть дано $\varepsilon > 0$, тогда должен существовать такой номер $N'_\varepsilon$, что $x_N'=\left(1-\frac{1}{N'}\right)<(0+\varepsilon)=\varepsilon$ Это неравенство выполняется при всех $N' < \frac{1}{1-\varepsilon}$. Тогда я могу положить $N'=1$ для любого $\varepsilon < 0$, и $\inf x_n= 0$ - верно?

Верно.

Цитата:

2. $\sup x_n = 1$, т.к.: $n \geq 1$ $\Rightarrow$ $1-\frac{1}{n}\leq 1 $ $\forall n \in \mathbb N$, и значит $1$ - верхняя граница последовательности.
Теперь пусть дано $\varepsilon > 0$, тогда должен существовать такой номер $N''_\varepsilon$, что $x_N''=\left(1-\frac{1}{N''}\right)<(1-\varepsilon)$, как только $n>N''$. Это неравенство выполняется при всех $N''> \frac{1}{\varepsilon}$. Тогда $N''=\frac{1}{\varepsilon}$, и $\sup x_n =1$ - верно?

Идея правильная. Замечание - $N''$ должно быть целым, так что надо написать что-нибудь типа $\lceil \frac{1}{\varepsilon} \rceil +1$.