[ТФФА] Задача о наилучшем приближении в гильбертовом простра

[terminator-II]

id в сообщении #333278 писал(а):

А если взять $N = \mathbb R^2 _{\infty}$ и прямую $x = c$? Т.е. единственности нет в общем случае.

я про единственность вообще не думал, я про существование

id в сообщении #333278 писал(а):

Ну то есть мне так кажется, что оно в общем случае неверно.

а мне кажется, что верно

[.alexey]

terminator-II в сообщении #333259 писал(а):

Школярский подход к делу, я думал Вы предмет изучаете, а Вы зачет спихиваете, двошнег.

В любом случае зацикленности понятий не должно быть. Поэтому порядок подачи материала должен играть роль. Ведь наверное ещё никто решался вместе с оглавлением давать граф зависимости понятий и теорем, вводимых в предмете.

PS а вообще, я лекции пытась привести в понятный, читабельный вид.

[id]

terminator-II
То, о чем я говорю, есть в Хелемском, "Лекции по ФА" на странице 176 (Глава 2, пар. 3)

Интереснее, как придумать контпример для рефлексивного банахова пространства - потому что в том, который там описан, используется функционал, определенный на $C[0,1]$, которое нерефлексивно.

И еще есть результат о том, что банахово пр-во рефлексивно тогда и только тогда, когда единичный шар компактен в слабой топологии. То есть может быть вообще в рефлексивном оно таки верно. Тем более известно, что банахово рефлексивно тогда и только тогда, когда верхняя грань в определении нормы достигается для любого функционала. Поэтому строить контрпримеры с функционалами для таких пространств заведомо бессмысленно.

[.alexey]

terminator-II в сообщении #333282 писал(а):

я про единственность вообще не думал, я про существование

В единственности и заложен весь смысл. Иначе просто инфинум норм будет в любом замкнутом нормированном пространстве. И это вообще будет следовать из того, что в множестве $X \in R , X = \{||a||, \forall a \in M\}$ есть нижняя грань.

[id]

.alexey
Суть в том, что в выпуклом замкнутом подможестве гильбертова эта самая нижняя грань достигается. Ну и единственна.

[terminator-II]

.alexey в сообщении #333291 писал(а):

В единственности и заложен весь смысл. Иначе просто инфинум норм будет в любом замкнутом нормированном пространстве. И это вообще будет следовать из того, что в множестве $X \in R , X = \{||a||, \forall a \in M\}$ есть нижняя грань.

ничего-то Вы в своей задаче не поняли

-- Sun Jun 20, 2010 23:19:44 --

id
post333279.html#p333279

[.alexey]

id в сообщении #333293 писал(а):

.alexey
Суть в том, что в выпуклом замкнутом подможестве гильбертова эта самая нижняя грань достигается. Ну и единственна.

Ок, нижняя грань среди норм каких элементов (какого множества)? Если того же самого, то как она может не достигаться?

[id]

.alexey
Нижняя грань среди норм элементов того самого выпуклого замкнутого множества.

[.alexey]

id в сообщении #333303 писал(а):

.alexey
Нижняя грань среди норм элементов того самого выпуклого замкнутого множества.

Чтобы она достигалась не нужно чтобы пространство было гильбертовым. И это тривиально.
Норма неотрицательная функция заданная на множестве. Если множество замкнутое, то в нем будет существовать элемент(ы) с этой минимальной нормой.

[id]

Цитата:

Если множество замкнутое, то в нем будет существовать элемент(ы) с этой минимальной нормой.

Нет. Выше я ссылался на конкретный контрпример. Но можно и проще придумать, наверно.

[terminator-II]

id
не тратьте время, Вы лучше возвращайтесь в олимпиадные задачи

[.alexey]

id в сообщении #333308 писал(а):

Цитата:

Если множество замкнутое, то в нем будет существовать элемент(ы) с этой минимальной нормой.

Нет. Выше я ссылался на конкретный контрпример. Но можно и проще придумать, наверно.

Имеется ввиду этот пример?

Цитата:

Или, например, возьмем линейный непрерывный функционал на банаховом пр-ве такой, что у него не достигается верхняя грань в определении нормы (они существуют). Рассмотрим (замкнутое) афинное подпространство . Все.

В книжке Хелемского приведен пример только того, что может быть несколько ближайших элементов. А про то что их может не быть совсем только упомянуто.

Хотелось бы по подробнее разобраться с примером, который показывает, что минимальных элементов может вообще не быть.

[id]

.alexey
Не только, ведь там есть и функционал $f: C[-1,1] \to \mathbb C: \ z \to \int\limits_{-1}^{0} z(t) dt - \int\limits_0^1 z(t) dt$.

Он не обладает обсуждаемым выше свойством, т.е. не достигается верхняя грань в определении нормы функционала.

[мат-ламер]

Пространства, для которых справедлива теорема из первого поста называются равномерно выпуклыми . И как я только что прочёл в справочнике Виленкина и др., этот класс пространств уже чем рефлексивные пространства. Контрпримера там нет.

[terminator-II]

мат-ламер в сообщении #333537 писал(а):

Пространства, для которых справедлива теорема из первого поста называются равномерно выпуклыми

это что-то странное, во-всяком случае это определение не эквивалентно стандартному