[ТФФА] Задача о наилучшем приближении в гильбертовом простра

[.alexey]

В курсе тффа давалась теорема и доказательство к ней.

Пусть M - выпуклое и замкнутое подмножество в гильбертовом простанстве. Тогда в M существует единственный элемент с минимальной нормой.

$M \in H, M$ - выпуклое и замкнутое Доказательство: $$\exists d = \inf_{x \in M}{||x||}$$ $$\exists \{x_n \}_{n = 1}^{\infty} , d = \lim_{n \to \infty}{||x_n||}$$ Покажем, что последовательность $\{x_n\}$ фундаментальная, используя тождество параллелограмма $${||x_n - x_m||}^2 + {||x_n + x_m||}^2 = 2 ({||x_n||}^2 + {||x_m||}^2)$$ $${||x_n - x_m||}^2 + 4d^2 \le 2 ({||x_n||}^2 + {||x_m||}^2)$$ Если последовательность норм стремиться к $d$, то для $\forall \varepsilon > 0$ существует N(\varepsilon) такой что для последующих номеров ${||x_n||}^2 \le d^2 + \varepsilon$ и ${||x_m||}^2 \le d^2 + \varepsilon$ Получается, что $${||x_n - x_m||}^2 + 4d^2 \le 4 (d^2 + \varepsilon )$$ $${||x_n - x_m||}^2 \le 4 \varepsilon$$ Доказали, что последовательность фундаментальная, а поскольку множество замкнутое, то она сходится к элементу этого множества. Теперь докажем единственность. Пусть $\exists x_1, x_2 \in M, ||x_1|| = ||x_2|| = d$ $${||x_1 - x_2||}^2 + {||x_1 + x_2||}^2 = 2 ({||x_1||}^2 + {||x_2||}^2) = 4d^2$$ $${||x_1 - x_2||}^2 - 4d^2 = - {||x_1 + x_2||}^2 \le 4d^2$$ тк {||x_1 + x_2||}^2 \ge 4d^2 $${||x_1 - x_2||}^2 \le 0$$ Следовательно $||x_1 - x_2||$ = 0$ и x_1 = x_2

Вроде бы доказательство правильное, но как вы заметили в нем почему то не используется тот факт, что множество выпуклое. Но ведь для невыпуклых множеств теорема не верна. Так вот, может я что то не понимаю, где то ошибка в доказательстве?

[terminator-II]

.alexey в сообщении #333213 писал(а):

В курсе тффа давалась теорема и доказательство к ней.

Пусть M - выпуклое и замкнутое подмножество в гильбертовом простанстве. Тогда в M существует единственный элемент с минимальной нормой.

$M \in H, M$ - выпуклое и замкнутое Доказательство: [math]$$\exists d = \inf_{x \in M}{||x||}$$

$$\exists \{x_n \}_{n = 1}^{\infty} , d = \lim_{n \to \infty}{||x_n||}$$

Покажем, что последовательность $\{x_n\}$ фундаментальная, используя тождество параллелограмма

$${||x_n - x_m||}^2 + {||x_n + x_m||}^2 = 2 ({||x_n||}^2 + {||x_m||}^2)$$

$${||x_n - x_m||}^2 + 4d^2 \le 2 ({||x_n||}^2 + {||x_m||}^2)$$

не понял откуда взялась последняя строчка


Я думаю, доказательство должно быть примерно таким. Минимизирующая последовательность ограничена, значит из нее можно извлечь слабо сходящуюся подпоследовательность. Выпуклое множество в рефлексивном(?) банаховом пространстве замкнуто тогда и только тогда, когда оно слабо замкнуто.

Далее $x_n\to x$ слабо, и $x\in M$. Поэтому $(x_n,x)\to \|x\|^2$ т.е.

$$|(x_n,x)|=\|x\|^2(1+\varepsilon_n),\quad \varepsilon_n\to 0$$

с другой стороны $|(x_n,x)|\le\|x\|\|x_n\|$.
Отсюда $\|x_n\|\ge \|x\| (1+\varepsilon_n).$ ЧТД
Тут, правда, еще надо сказать, что $x\ne 0$, случай же $x=0$ оставляется читателю.

[cyb12]

terminator-II в сообщении #333226 писал(а):

не понял откуда взялась последняя строчка

Может там двойка, а не четверка?

[Spook]

по-моему, просто $2d\leqslant||x_m+x_n||$

-- Вс июн 20, 2010 20:09:49 --

хотя это неверно, в общем-то

-- Вс июн 20, 2010 20:21:17 --

Лучше так.

$$\exists d = \inf_{x \in M}{||y-x||}$$

$$||x_m-x_n||^2+4d^2\leqslant||x_m-x_n||^2+4||y-\frac{x_m+x_n}{2}||^2=2||y-x_n||^2+2||y-x_m||^2$$

[id]

$\| x_n + x_m\|^2 = 4 \|\frac {x_n+x_m} 2\|^2$
$\frac {x_n+x_m} 2$ принадлежит $M$, значит $\|\frac {x_n+x_m} 2\|^2 \ge d^2$

Не?

[Spook]

id, да

[id]

Цитата:

Выпуклое множество в рефлексивном(?) банаховом пространстве замкнуто тогда и только тогда, когда оно слабо замкнуто.

Теорема Мазура (или не она, но есть в Шефере) утверждает, что в любом хаусдорфовом ЛВП слабое замыкание выпуклого множества совпадает с замыканием.

[terminator-II]

Я не помню точно, смысл в том, что должен существовать линейный функционал, который отделяет точку от замкнутого выпуклого множества. Да рефлексивность не нужна.

[Spook]

.alexey писал(а):

Вроде бы доказательство правильное, но как вы заметили в нем почему то не используется тот факт, что множество выпуклое. Но ведь для невыпуклых множеств теорема не верна. Так вот, может я что то не понимаю, где то ошибка в доказательстве?

Наверное, имеется в виду, что $M$ включает в в себя все линейные комбинации всех своих элементов, т.е. является линейным многообразием.

[.alexey]

terminator-II в сообщении #333228 писал(а):

не понял откуда взялась последняя строчка

Я думаю, доказательство должно быть примерно таким. Минимизирующая последовательность ограничена, значит из нее можно извлечь слабо сходящуюся подпоследовательность.

Слабая сходимость изучалась дальше, поэтому вряд ли она могла использоваться в доказательстве.

id в сообщении #333241 писал(а):

$\| x_n + x_m\|^2 = 4 \|\frac {x_n+x_m} 2\|^2$
$\frac {x_n+x_m} 2$ принадлежит $M$, значит $\|\frac {x_n+x_m} 2\|^2 \ge d^2$

Не?

Да, наверное так. А для $\frac {x_n+x_m} 2$ принадлежит $M$ необходимо, чтобы M было выпуклым. Наверное для этого вывода и нужна выпуклость.

[id]

Для того, о чем писали выше, достаточно выпуклости вроде как.

[terminator-II]

(Оффтоп)

.alexey в сообщении #333252 писал(а):

Слабая сходимость изучалась дальше, поэтому вряд ли она могла использоваться в доказательстве.

Школярский подход к делу, я думал Вы предмет изучаете, а Вы зачет спихиваете, двошнег.

[Spook]

(Оффтоп)

terminator-II писал(а):

Школярский подход к делу, я думал Вы предмет изучаете, а Вы зачет спихиваете, двошнег.

Позволю себе вставить коментарий на эту тему, надеюсь от модератора нам не достанется. Курсы ограничены, всего впихнуть не удастся, а м.б. последующие темы и доказательства непосредственно опираются на предыдущие, зачем тогда студенту рисковать попасть в порочный круг? Возможно, это непрофильный и неинтересный предмет для него, а есть еще такие вещи как футбол, любовь и т.д.

[terminator-II]

По-моему утверждение, сформулированное в начале темы верно в произвольном банаховом пространстве, а не только в гильбертовом.

[id]

А если взять $N = \mathbb R^2 _{\infty}$ и прямую $x = c$? Т.е. единственности нет в общем случае.

Или, например, возьмем линейный непрерывный функционал $f$ на банаховом пр-ве такой, что у него не достигается верхняя грань в определении нормы (они существуют). Рассмотрим (замкнутое) афинное подпространство $f(x) = 1$. Все.

Ну то есть мне так кажется, что оно в общем случае неверно.