Выразить один вектор через другой

[Leander]

Здравствуйте! Помогите пожалуйста с такой задачей:

Используя определение и свойства векторного произведения, выразить

$$\vec{d} = (2\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a}-2\vec{b})$$

через вектор $\vec{c}$, если известно, что $\vec{c}$ - вектор единичной длины, направленный так же, как и вектор $\vec{a} \times \vec{b}$.
(Также дано, что $|\vec{a}| = 3; |\vec{b}| = 4; \varphi = 135^{o}$).

Я упростил выражение:
$(2\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a}-2\vec{b}) = 2\vec{a} \times \vec{a} - 4\vec{a}\times\vec{b} + \vec{a}\times\vec{b} - 2\vec{b} \times \vec{b} = -3\vec{a} \times \vec{b}.$

А что делать дальше не знаю, как можно сюда вектор $\vec{c}$ добавить?

[gris]

Надо найти длину вектора $d$.
Тогда $\vec d=|\vec d|\cdot \vec c$

PS Я, как обычно, прочитал только до конца строчки и подумал, что $\vec c$ сонаправлен $\vec d$. Я рад, что случайно векторное произведение оказалось коллинеарно вектору $\vec d$, хотя и направлено в другую сторону. Из-за этого ошибка была только в знаке.
Но я уверен, что автор заметил бы ошибку и вместо $|\vec d|$ написал бы проекцию этого вектора на векторное произведение.

[Leander]

gris, спасибо!
Длина вектора $\vec{d}$ тогда получается такой:
$|\vec{d}| = |-3| \cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot |\sin(\frac{3\pi}{4})| = 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 18\sqrt{2}.$
То есть $\vec{d} = 18\sqrt{2}\vec{c}$.
Правильно у меня получилось?

[La|Verd]

Кажется, таки есть маленькая ошибка.
Получается $$\vec{d} = -18\sqrt{2}\vec{c}$.
Дело в том, что вектор $\vec{d}$ направлен противоположно вектору $\vec{a}\times\vec{b}$.

Да и вообще, я бы делал задачу чуть иначе.
Было получено, что
$\vec{d} = -3\vec{a} \times \vec{b}$.
Далее знаем, что $\vec{c}$ сонаправлен с $\vec{a}\times\vec{b}$. Тогда (учитывая, что вектор $\vec{c}$ - единичной длины, направляющий для $\vec{a}\times\vec{b}$):
$\vec{a}\times\vec{b} = \vec{c} \cdot |\vec{a}\times\vec{b}| = \vec{c} \cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\frac{3\pi}{4}) = 6\sqrt{2}\vec{c}$.
Откуда
$\vec{d} = -3\vec{a} \times \vec{b} = -18\sqrt{2}\vec{c}$.

[Leander]

La|Verd, спасибо за исправление! У меня как раз были сомнения насчёт минуса, когда я его под знак модуля убирал