Первообразная

[user08]

Как посчитать первообразную функции?
$\frac{x}{e^{-x}}$
Ответ знаю, интересует именно как он получился.

[cyb12]

Ну если считать интеграл

$$\int x e^x\,dx,$$

то его можно решить по частям. То есть

$$\int x e^x\,dx=\int x\,d(e^x)=\ldots$$

[user08]

Я не понял :(. Как мы получаем ответ?

[Trius]

$\int xe^x dx=xe^x-\int e^xdx$

[user08]

Ничего не понимаю. Вроде должно получиться $-($x+1)e^{-x}$. Если производную возьмём получаем что нужно.

Trius в сообщении #333120 писал(а):

$\int xe^x dx=xe^x-\int e^xdx$

Что с этим делать? подставить во второе слагаемое первообразную $$e^x$? получаем $$xe^x - e^x$

[Ranax]

Вы ошиблись, производная будет другая, а правильный ответ у триуса

[cyb12]

Если Ваш ответ $-(x+1)e^{-x}$, то возьмем производную:

$$\left(-(x+1)e^{-x}\right)'=xe^{-x}\neq\frac x{e^{-x}}$$

[user08]

cyb12 в сообщении #333125 писал(а):

Если Ваш ответ $-(x+1)e^{-x}$, то возьмем производную:

$$\left(-(x+1)e^{-x}\right)'=xe^{-x}\neq\frac x{e^{-x}}$$

Прошу прощения. Допустил ошибку в условии. Надо посчитать первообразную $\frac{x}{e^{x}}$

[cyb12]

Ну тогда должно быть все уже понятно? Так же по частям.

$$\int x e^{-x}\,dx=-\int x \, d(e^{-x}).$$

[user08]

cyb12 в сообщении #333148 писал(а):

Ну тогда должно быть все уже понятно? Так же по частям.

$$\int x e^{-x}\,dx=-\int x \, d(e^{-x}).$$

Объясните, пожалуйста, что это значит.

[neo66]

Ничего это не значит. А если серьезно, просто некий иероглиф, исторически применяемый для вычисления неопределенного интеграла по частям.

[cyb12]

$$\int x e^{-x}\, dx = -\int x\,d(e^{-x}) = -\left(x e^{-x} - \int e^{-x}\,dx\right)=e^{-x}(-x-1)=-(x+1)e^{-x},$$

как в Вашем ответе).

[user08]

почему первое выражение равно второму, второе третьему? В чём разница между $dx$ и $d(e^{-x}) $?

[Mathusic]

user08 в сообщении #333185 писал(а):

почему первое выражение равно второму, второе третьему? В чём разница между $dx$ и $d(e^{-x}) $?

$d(e^{-x})=-e^{-x}dx$
Вам следует серьёзно и тщательно разобраться в основах.

[cyb12]

http://ru.wikipedia.org/wiki/Интегрирование_по_частям

(Оффтоп)

Там очень забавные правила запоминания