Произведение мощностей множеств

[caxap]

Верно ли, что мощность произведения (декартова) бесконечных множеств равна мощности их суммы (объеденения).
Тогда получается $\aleph_0 \times \mathfrak c = \aleph_0 + \mathfrak c = \mathfrak c $, $\mathfrak c^{\aleph_0}=\mathfrak c + \mathfrak c + ... = \mathfrak c$ ?

[Padawan]

Для конечного числа сомножителей это верно: $\mathfrak a\cdot\mathfrak b=\mathfrak a+\mathfrak b=\max\{\mathfrak a,\mathfrak b\}$.
А для бесконечного семейства сомножителей уже неверно: $\aleph_0^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}>\aleph_0=\aleph_0\cdot\aleph_0$

[caxap]

Padawan
Спасибо. А эта теорема каклое-нибудь название имеет? И где можно про неё почитать? Я просто увидел её в одной брошюрке (верещагин, шень), она вскольз упоминается.

[Cave]

Вообще-то, там доказываются все факты, упомянутые Padawanом.