изоморфизмы, нестандартные задачи

[vester]

id в сообщении #332922 писал(а):

vester
Обратимые элементы (по умножению, если что ) в $\mathbb Z / n \mathbb Z$ - это не все элементы кроме нуля, в общем случае. Если $n$ простое - то да, $\mathbb Z_n$ будет полем. А если нет - то нет.

все элементы взаимно простые с n, это я понял, да =)
1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14 для 15, например.

теперь как-то вообще всё странно 0_о
изоморфизм между группами будет ещё более сложным =(

[id]

Верно. А теперь выпишите группу для 30.
Вы увидите, что она состоит тоже из 8 элементов.
После этого для каждого найдите обратный в каждой группе (помимо 1 будет ровно один элемент, обратный сам себе). Это даст кое-какие намеки на то, как установить изоморфизм.


P.S. Я не знаю, правда - может есть какой-то общий результат, описывающий строение соответствующих групп, позволяющий избавиться от вычислений дабы установить изоморфизм?

[Mathusic]

Что касается второй задачи, то если $G=\operatorname{GL}_2(\mathbb{Z}_3)$, то её утверждение эквивалентно существованию эпиморфизма $\varphi: G \to S_4$.

[vester]

id, спасибо! =)

Mathusic, вы имеете ввиду свойство сюръективность?
как кратко описать все 24 матрицы и группы перестановок?
я вижу явную аналогию единичной матрицы и тождественной перестановки...

[Mathusic]

Да, я подразумеваю сюръективный гомоморфизм $\varphi$. Да, аналогию вы видите верно, так как при изоморфизме $\psi$ $\psi(E)=\sigma_{id}$.
А вы считаете легче найти непосредственно изоморфизм?

[vester]

Mathusic в сообщении #332987 писал(а):

Да, я подразумеваю сюръективный гомоморфизм $\varphi$. Да, аналогию вы видите верно, так как при изоморфизме $\psi$ $\psi(E)=\sigma_{id}$.
А вы считаете легче найти непосредственно изоморфизм?

думаю да, легче найти сам изоморфизм. вашу идею развить не удалось (

по моей идее:
единичная матрица - тождественная перестановка (1-1, 2-2, 3-3, 4-4)
1 0
0 1

матрица поворота - противоположная перестановка (1-4, 2-3, 3-2, 4-1)
0 1
1 0

вот у них всё хорошо и с произведениями, и с возведением в степень =)
а дальше аналогию не уловить... но вроде же всё где-то близко.. может есть идеи, или видны ещё какие-то сходства?

[Mathusic]

Вторая матрица (см. класс) отображена не верно.
Учтите, что вы отображаете смежные классы по центру группы, а не просто матрицы.

Учтите так же, что смежные классы, эл-ты которых имеют $\text {det}=1$ переходят в чётные перестановки, остальные - в нечётные.
Ещё можно пробовать искать подгруппы в $G/Z(G)$, такие, что больше изофорфных подгрупп им нет, тогда они перейдут в соответствующие изоморфные им в $S_4$, но это опять вычисления.

[vester]

Mathusic в сообщении #333336 писал(а):

Вторая матрица (см. класс) отображена не верно.
Учтите, что вы отображаете смежные классы по центру группы, а не просто матрицы.

почему не верно?
если 2 раза применить обратную перестановку, получится тождественная...
а произведение двух матриц поворота дают единичную матрицу, которая соответствует тождественной перестановке.

про остальное подумаю, спасибо

[Mathusic]

Определитель $-1$, подстановка чётная.

[vester]

Mathusic в сообщении #333370 писал(а):

Определитель $-1$, подстановка чётная.

а не подскажите литературу, где подробно написано про связь определителя и чётность подстановки?
интуитивно стало понятно, да.. но нигде подробно ничего не написано(

[vester]

id в сообщении #332950 писал(а):

Верно. А теперь выпишите группу для 30.
Вы увидите, что она состоит тоже из 8 элементов.
После этого для каждого найдите обратный в каждой группе (помимо 1 будет ровно один элемент, обратный сам себе). Это даст кое-какие намеки на то, как установить изоморфизм.

я думал, что дальше всё просто.. но оказалось, что нет(

но получил две группы:

для Z / 30Z : 1 7 11 13 17 19 23 29
для Z / 15Z : 1 2 4 7 8 11 13 14

Достаточно ли теперь составить изоморфизм первой группы чисел во вторую? нужно ли учитывать, что в Z / 30Z 30 элементов, а в Z / 15Z 15?

-- Вт июн 22, 2010 20:36:00 --

Mathusic в сообщении #333336 писал(а):

Вторая матрица (см. класс) отображена не верно.
Учтите, что вы отображаете смежные классы по центру группы, а не просто матрицы.

Учтите так же, что смежные классы, эл-ты которых имеют $\text {det}=1$ переходят в чётные перестановки, остальные - в нечётные.
Ещё можно пробовать искать подгруппы в $G/Z(G)$, такие, что больше изофорфных подгрупп им нет, тогда они перейдут в соответствующие изоморфные им в $S_4$, но это опять вычисления.

а вы в этом уверены?

Я наткнулся на вот такое утверждение:
$S_n$ изоморфна группе матриц перестановок, при этом выполняется "чётная перестановка соответствует матрице с определителем +1".

т.е. в данном случае это верно для матриц перестановок 4x4... как их можно связать с матрицами 2x2 из группы $GL_2( Z / 3Z)$

[Mathusic]

$\operatorname {det}$ и $\operatorname {sgn}$ - один и тот же гомоморфизм.

[vester]

ап =)

Ещё небольшое продвижение.. матрицы организовались в 24 смежных класса,
в каждом классе содержится 2 матрицы (все операции происходят по модулю 3).

например:

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} \left\| \begin{array}{rcl} \begin{array}{cccc} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{array} \end{array} \right\| \left\| \begin{array}{rcl} \begin{array}{cccc} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{array} \end{array} \right\| \end{array} \right\} \end{array} \right\} $$

необходимо составить изоморфизм:

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} \left\| \begin{array}{rcl} \begin{array}{cccc} A & B \\ C & D \end{array} \end{array} \right\| \left\| \begin{array}{rcl} \begin{array}{cccc} -A & -B \\ -C & -D \end{array} \end{array} \right\| \end{array} \right\} \to\ \left\{ \begin{array}{rcl} \begin{array}{rcl} \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ a & b & c & d \end{array} \end{array} \end{array} \right\} $$

может есть какие-то идеи, как сопоставить числа?

разбор перестановок на циклы мучал, ничего интересного не нашлось.. =(
пытался использовать матрицу перестановок, но привести её к виду 4x4 тоже не получилось

[vester]

Вот ещё интересное наблюдение.
Если изоморфизм существует, значит он будет виден и при возведении в степень.

С помощью программ я перебрал все классы и все матрицы, нашёл такие степени(больше 1), при возведении в которые объект переходит сам в себя (единичная матрица в квадарате - единичная перестановка, умноженная на саму себя...)

вот полный список:

(Оффтоп)

Перестановки:

1 2 3 4
Степень = 2



2 1 3 4
Степень = 3

2 1 4 3
Степень = 3

1 2 4 3
Степень = 3

1 3 2 4
Степень = 3

1 4 3 2
Степень = 3

3 2 1 4
Степень = 3

3 4 1 2
Степень = 3

4 2 3 1
Степень = 3

4 3 2 1
Степень = 3




1 3 4 2
Степень = 4

1 4 2 3
Степень = 4

2 3 1 4
Степень = 4

2 4 3 1
Степень = 4

3 1 2 4
Степень = 4

3 2 4 1
Степень = 4

4 1 3 2
Степень = 4

4 2 1 3
Степень = 4




3 1 4 2
Степень = 5

2 3 4 1
Степень = 5

2 4 1 3
Степень = 5

3 4 2 1
Степень = 5

4 1 2 3
Степень = 5

4 3 1 2
Степень = 5


Матрицы:

1 0 | 2 0
0 1 | 0 2 : 2 : 2 Степень = 2
______________




0 1 | 0 2
1 0 | 2 0 : 3 : 3 Степень = 3
______________

0 1 | 0 2
2 0 | 1 0 : 3 : 3 Степень = 3
______________

1 2 | 2 1
2 2 | 1 1 : 3 : 3 Степень = 3
______________

1 0 | 2 0
0 2 | 0 1 : 3 : 3 Степень = 3
______________

1 0 | 2 0
1 2 | 2 1 : 3 : 3 Степень = 3
______________

1 0 | 2 0
2 2 | 1 1 : 3 : 3 Степень = 3
______________

1 1 | 2 2
0 2 | 0 1 : 3 : 3 Степень = 3
______________

1 1 | 2 2
1 2 | 2 1 : 3 : 3 Степень = 3
______________

1 2 | 2 1
0 2 | 0 1 : 3 : 3 Степень = 3
______________




1 0 | 2 0
1 1 | 2 2 : 4 : 4 Степень = 4
______________

0 1 | 0 2
2 1 | 1 2 : 4 : 4 Степень = 4
______________

0 1 | 0 2
2 2 | 1 1 : 4 : 4 Степень = 4
______________

1 0 | 2 0
2 1 | 1 2 : 4 : 4 Степень = 4
______________

1 1 | 2 2
0 1 | 0 2 : 4 : 4 Степень = 4
______________

1 1 | 2 2
2 0 | 1 0 : 4 : 4 Степень = 4
______________

1 2 | 2 1
0 1 | 0 2 : 4 : 4 Степень = 4
______________

1 2 | 2 1
1 0 | 2 0 : 4 : 4 Степень = 4
______________



1 1 | 2 2
1 0 | 2 0 : 5 : 5 Степень = 5
______________

1 1 | 2 2
2 1 | 1 2 : 5 : 5 Степень = 5
______________

1 2 | 2 1
1 1 | 2 2 : 5 : 5 Степень = 5
______________

1 2 | 2 1
2 0 | 1 0 : 5 : 5 Степень = 5
______________

0 1 | 0 2
1 1 | 2 2 : 5 : 5 Степень = 5
______________

0 1 | 0 2
1 2 | 2 1 : 5 : 5 Степень = 5
______________

Если разбить всё на группы по степеням(2, 3, 4, 5) то количество элементов в группах тоже совпадает.. какое ещё можно свойство использовать?

[ИСН]

Пользуйтесь общепринятым термином "порядок элемента в группе", и люди к Вам потянутся.