Штрих-код треугольника

[Garik2]

Лукомор в сообщении #331784 писал(а):

А на какую тему была лекция?

Тема лекции: "Что мы знаем о треугольнике?"
Возможно, Ваша схема верная. Но она неоднозначная, допускает варианты. А было отмечено, что есть только единственное решение для прямой задачи. Вот бъюсь над ней, уже перелопатил сто способов. Пока ни один не понравился.

[arseniiv]

Garik2 в сообщении #331817 писал(а):

Вот бъюсь над ней, уже перелопатил сто способов. Пока ни один не понравился.

Если треугольник и прямые привязаны к системе координат, решение есть (как раз Лукомора, например, и оно однозначно). Так же однозначно моё решение с дополнительной пересекающей их прямой, если системы координат нет (но тогда с точностью до движений). Без четвёртой прямой и системы координат задача решения не имеет даже с точностью до движений (для треугольника в данном случае нужно 3 параметра, а прямые дают только 2).

[Garik2]

arseniiv в сообщении #331947 писал(а):

Если треугольник и прямые привязаны к системе координат, решение есть (как раз Лукомора, например, и оно однозначно). Так же однозначно моё решение с дополнительной пересекающей их прямой, если системы координат нет (но тогда с точностью до движений). Без четвёртой прямой и системы координат задача решения не имеет даже с точностью до движений (для треугольника в данном случае нужно 3 параметра, а прямые дают только 2).

Все-таки, мы чего-то не то делаем. Задача, как я понял из записей лекции, заключается в построении трех параллельных линий. Точно так же, как мы строим, допустим, точку центра тяжести фигуры.
На одном из формумов мне обещали дать ссылку на энциклопедию, где эта задача полностью рассмотрена. Вот сижу и жду с нетерпением...

[Garik2]

Получил письмо от одного из участников дискуссии. Он сообщил, что данная задача решена ни много, ни мало, 10 лет назад. Тоже обещал отыскать ссылку. Более того, он сделал предположение, что задача эта - олимпиадная, то есть для школьников. Не знаю, как отнестись к такому. Я ученый со стажем и не могу даже понять "школьную задачку".

[Garik2]

Вот, наконец, прислали страничку из книги:



Послал запрос - откуда такие формулы и где рисунок?

[Garik2]

Ооооо! Прислали великолепный рисунок! Построение настолько элементарно, что школьник запросто такое сделает. Зеленые линии действительно параллельны.



Рис. Штрих-код треугольника

Для непрямоугольных треугольников все тоже справедливо. Интересно, как обстоит дело с равнобедренными и, в частности, с равносторонним треугольниками? По формулам, если они верны, получается, что линии штрих-кода горизонтальны, причем две из них совпадают с осью 0х. В равностороннем треугольнике (частный случай) прямая штрих-кода проходит через вершину С. Составлю программу и проверю сказанное.

[Лукомор]

Garik2 в сообщении #332411 писал(а):

Зеленые линии действительно параллельны.

Но это не единственная серия параллельных прямых для данного треугольника, как было заявлено.
Если с осью ОХ совместить другую сторону этого же треугольника, то и штрих-код соответственно изменится.
И будет для одного и того же треугольника три разных штрих-кода.
А можно и вообще придумать другие правила.
Например:
Берём произвольный треугольник.
Вписываем в него окружность радиуса r, описываем окружность радиуса R.
Первую прямую проводим через точки - центры окружностей, а вторую и третью - касательные к вписанной и описанной окружностям, параллельно первой прямой.
Тоже штрих-код, только другой...

[Garik2]

Если треугольник произволно вращать, то естественно получим не три, а бесконечное число уравнений для трех параллельных прямых. Так же как и бесконечное число уравнений сторон треугольника. Зато система "треугольник - штрихкод" всегда неизменна, как бы мы ни сдвигали или поворачивали фигуру.
Последний случай окружностей - это туфта. Мы сами строим параллельные. А то, что на рисунке представлено - тут параллельность именно получается после нахождений точек пересечения дуг со сторонами треугольника или их продолжениями. Две большие разницы, как говорится.

[gris]

Мне очень понравилось. Сижу рисую циркулем и линейкой прямые для разных треугольников. Ну вот, это же чистая геометрия. И при чём здесь система координат?
Теперь бы научиться восстанавливать по прямым треугольник.

[Garik2]

1. Начну с последнего. Я тоже об этом думал. Даже пытался "вывернуть" формулы. Не удается.
2. Координаты, видимо, понадобились для того, чтобы как можно проще было найти аналитические уравнения прямых и строго доказать, что они параллельны. Теперь же легко обобщить их переходом к произвольным координатам (смещение и поворот). Это уже элементарно.
3. Мне, кстати, прислали прогу для Maple. Можете варьировать координатами вершины С и стороной с. Сразу получаются штрих-коды. Это быстрее. Для данных из приведенного рисунка так:

xc:=0:yc:=6:c:=8: if xc=0 then xc:=.000000001 fi:b:=sqrt(xc^2+yc^2):a:=sqrt((c-xc)^2+yc^2):k:=yc*(a-b)/((xc-b)*a+(c-xc)xc:=0:yc:=6:c:=8: if xc=0 then xc:=.000000001 fi:b:=sqrt(xc^2+yc^2):a:=sqrt((c-xc)^2+yc^2):k:=yc*(a-b)/((xc-b)*a+(c-xc)*b):plot({k*x-k*b,k*x-k*(c-a),k*x-c/b*(k*xc-yc),yc/xc*x,0*x,yc/(xc-c)*x-yc/(xc-c)*c},x=-5..12,y=-4..10,thickness=3);evalf(k);*b):plot({k*x-k*b,k*x-k*(c-a),k*x-c/b*(k*xc-yc),yc/xc*x,0*x,yc/(xc-c)*x-yc/(xc-c)*c},x=-5..12,y=-4..10,thickness=3);evalf(k);

Интересно! Я поиграл, получил удовольствие. Варьировать нужно не только xc, yc и c, но и интервалами x и y в конце команды plot(....);. Поскольку иногда прямые штрих-кода выходят за рамки рисунка. Впрочем, вы наверное лучше меня разбираетесь...

[Garik2]

Ой, простите. При копировании получились повторения команд. Надо подправить:

xc:=0:yc:=6:c:=8: if xc=0 then xc:=.000000001 fi:b:=sqrt(xc^2+yc^2):a:=sqrt((c-xc)^2+yc^2):k:=yc*(a-b)/((xc-b)*a+(c-xc)*b):plot({k*x-k*b,k*x-k*(c-a),k*x-c/b*(k*xc-yc),yc/xc*x,0*x,yc/(xc-c)*x-yc/(xc-c)*c},x=-5..12,y=-4..10,thickness=3);evalf(k);

Теперь все верно. (Не смог отредактировать предыдущий пост, поскольку исчезла кнопка "Правка").

[gris]

Вы с красным цветом-то не очень... А то коррида начнётся.
Кстати, куски кода лучше и оформлять тэгом Code.

xc:=0:yc:=6:c:=8:

А по мне нет лучше деревянной линейки, да циркуля из дедовой трофейной готовальни, да тетради в клетку на пружинах.

[Garik2]

Извиняюсь за цвет... Попробую в последнем посте убрать. За Code спасибо!
Я тоже люблю линейку и прочее материальное. Но вот вопрос: как можно геометрически доказать параллельность? Должно же получиться не сложнее 150 доказательств теоремы Пифагора. Я никак не могу урвать полчаса на раздумья - то работа, то семейные круговерти. А вопрос интересный! Если, конечно, желание будет.

P.S. 1. Везде кнопка "Правка" исчезла! Как можно ее вернуть или по-иному исправить цвет? Может, модератор за меня такой пустяк поправит? Он же вхож в любую дверь!
2. Кто подскажет - в каком редакторе сделан последний рисунок (построение штрих-кода)? У меня так точно никак не получается. Я делаю в фотошопе.

[Лукомор]

А у меня что-то не стыкуется...
Выбрал точки А (0; 0), В (5; 0), С (1,8; 2,4).
Уравнения линий
$y_1=0.5x-1.5$
$y_2=0.5x-0.5$
$y_3=0.5x+2.5$
А геометрия не получается...
Что я делаю не так?

[Garik2]

У вас все верно. Просто в модели первоначальной вершина С , а у вас B. Ну и вместо B - у вас С. Вот рисунок. Все прямые такие, как вы напечатали.



Сделал по проге в Maple :

xc:=1.8:yc:=2.4:c:=5: if xc=0 then xc:=.000000001 fi:b:=sqrt(xc^2+yc^2):a:=sqrt((c-xc)^2+yc^2):k:=yc*(a-b)/((xc-b)*a+(c-xc)*b):plot({k*x-k*b,k*x-k*(c-a),k*x-c/b*(k*xc-yc),yc/xc*x,0*x,yc/(xc-c)*x-yc/(xc-c)*c},x=-6..6,y=-2..4,thickness=3);evalf(k);