Целые части.

[Руст]

Пусть $a_1,...,a_n,x_1,...,x_n$ неотрицательные целые числа, $a=\sum_i a_i$ целое и $b$ натуральное число. Доказать, что

$$\sum_i [cx_i] \ge \ \sum_{j=0}^{n-1}[\sum_i a_{i+j}x_i] +\sum_i [bx_i].$$

Здесь $c=a+b, a_{n+i}=a_i$.
Следствие. Пусть $a_i,x_i$ натуральные. Тогда число

$$\frac{\prod_i (cx_i)!}{\prod_i (bx_i)!\prod_j (\sum_i a_{i+j}x_i)!}$$

-целое.
Привести контрпример для следствия, когда $b=0$ ($b>0$ существенно).

[Edward_Tur]

Перекликается с post90764.html#p90764