тройной интеграл

[NeBotan]

День добрый. НЕ справился с задачей на тройной интеграл:

свести тройной интеграл к трехкратному $\int \int \int_{T}^{ }(x+y)dxdydz$, где область Т ограничена линиями:
$x=0,\;\;y=0,\;\;z=0,\;\; x+y-z=1$

Решение:

сперва я нашел границы интегрирования: получил, что х меняется от 0 до 1, у от 0 до 1, z от -1 до 0. записал интеграл в виде $\int dx \int dy \int (1+z)dz$ и последовательно его раскрыл. получил в ответе 1/2.

Подскажите пожалуйста, где я ошибся???

[ewert]

NeBotan в сообщении #331937 писал(а):

Подскажите пожалуйста, где я ошибся???

Я бы сказал, что нигде; просто Вы писали пределы, находясь в бессознательном состоянии. Это нельзя назвать ошибкой, это -- просто состояние такое.

Прикиньте, что из себя представляет трехмерная область интегрирования. И как она проецируется на горизонтальную плоскость. А потом спокойно, не нервничая, постепенно расставляйте пределы: сперва по плоскости...

[NeBotan]

область я вроде даже представляю. это прямоугольная пирамидка. в которой высота выходит из начала координат. ну можно еще по плоскости прописать неравенствами. например, по оси Оху. там точки х,у должны удовлетворять следующим условиям $x \ge 0,\;\;y \ge 0\;\; y \le 1-x$. Так ? То есть я должен оставить одну переменную как функцию другой. а все остальные две переменные менять от одного предела до другого. как например z и х.

[vvvv]

Во-первых, x+y-z=1 - это не линия, а плоскость.
Во-вторых, при таком задании верхними пределами по x и y будет бесконечность.
В-третьих, в условии задачи, вероятно, ошибка.

[ewert]

vvvv в сообщении #332060 писал(а):

В-третьих, в условии задачи, вероятно, ошибка.

Нету там никакой ошибки, просто плоскость снизу проходит -- по точкам (1,0,0), (0,1,0) и (0,0,-1).

NeBotan в сообщении #332037 писал(а):

точки х,у должны удовлетворять следующим условиям $x \ge 0,\;\;y \ge 0\;\; y \le 1-x$. Так ?

Совершенно верно, в основании -- именно этот треугольник. Вот и расставляйте пределы.

[NeBotan]

понял. так и расставил. спасибо за участие, видать, с наступлением лета желание потупить у меня сильно возросло.....)