О свойствах ортогональных дополнений подпространств

[Dilettante]

Известны такие свойства ортогональных дополнений для любых подпространств евклидова пространства:
1) орт. доп. суммы двух подпространств равно пересечению орт. доп. каждого подпространства в отдельности
2) орт. доп. пересечения двух подпространств равно сумме орт. доп. каждого подпр-ва в отдельности

Собственно, вопрос таков: где можно найти доказательства этих свойств? Что-то я не нашёл, хотя может плохо искал)

[ewert]

Во-первых, второе равносильно первому. Во-вторых, первое доказывается -- в лоб. Из того, что вектор ортогонален сумме подпространств, следует, в частности что он ортогонален каждому подпространству. И наоборот: если он ортогонален каждому подпространству, то он ортогонален и любой сумме входящих в них векторов, т.е. ортогонален сумме подпространств.

[Dilettante]

Ну раз он орт. каждому то значит орт. и сумме - это ясно, а вот что орт. доп. $(H_1+H_2) = $орт. доп. $H_1 \cap $ орт. доп. $H_2$ $ мне не вполне ясно, вот я и думал, может где-то есть поподробнее. В любом случае, спасибо за ответ.

[ewert]

Dilettante в сообщении #325707 писал(а):

, а вот что орт. доп. $(H_1+H_2) = $орт. доп. $H_1 \cap $ орт. доп. $H_2$ $ мне не вполне ясно,

Непонятно, что именно не понятно. Что принадлежность к пересечению ортогональных дополнений означает принадлежность к каждому из этих дополнений -- это, что ли?... Или что ортогональность вектора к подпространству означает его принадлежность к ортогональному дополнению?...

[Dilettante]

ewert в сообщении #325743 писал(а):

принадлежность к пересечению ортогональных дополнений означает принадлежность к каждому из этих дополнений -- это, что ли?...

Вот! Да, это я и не мог осмыслить! Забываюсь в этих обозначениях, не понимал в принципе что представляет собой пересечение ортогональных дополнений... Теперь всё!

[Dilettante]

Снова возвращаюсь к этому же вопросу... Суть свойств я понял, но по доказательству всё равно остался вопрос - нужно какое-то математическое оформление этого док-ва. Так то я понимаю уже смысл, но как это всё математически записать?

У меня есть некое доказательство, но там встречается следующее: $a \in $орт. доп. $(H_1+H_2) \rightarrow a \notin H_1+H_2 \rightarrow a \notin H_1, a \notin H_2 \rightarrow a \in $орт. доп.$H_1, a \in $орт. доп.$H_2$

Мне непонятен момент: $a \notin H_1, a \notin H_2 \rightarrow a \in $орт. доп.$H_1, a \in $орт. доп.$H_2
Почему из не принадлежности $ a $ к подпр-вам следует его принадлежность их орт. дополнениям?

[ewert]

Dilettante в сообщении #331940 писал(а):

Почему из не принадлежности $ a $ к подпр-вам следует его принадлежность их орт. дополнениям?

Не следует, естественно, а что имелось в виду -- угадывать лень, без полного д-ва, во всяком случае

[Dilettante]

Там собственно дальше стоит, что следовательно $a \in $ орт. доп. ($H_1+H_2$) и делается заключение, что орт. доп. $(Н_1+H_2) \subset $ орт. доп. $H_1 \cap $орт. доп.$H_2$

А потом в обратную сторону, предполагается, что $a \in$ пересечению орт. доп. и следовательно $\in$ каждому из них и значит $\notin$ подпространствам $H_1, H_2 $ следовательно $ a \notin (H_1+H_2)$ и в заключение делается вывод что $a \in $ орт. доп. $H_1+H_2 \Rightarrow $орт. доп. ($H_1+H_2$) \supsetорт. доп $H_1 \cap$ орт. доп. $H_2$

В итоге - свойство доказано. Видимо что-то пропущено, или вообще не верное доказательство.

[Dilettante]

Тогда вот ещё вопрос - орт. доп. $(H_1+H_2) = $ орт. доп. $H_1$ + орт. доп. $H_2$? Мне думается, что к моему несчастью, нет

И ещё: может быть, из $ a \notin H $ следует его принадлежность к орт. доп. $H$? Ведь мы можем представить евклидово про-во L как прямую сумму орт. дополнения к некоторому пространству и этого подпространства?

Извиняюсь, может всё это конечно чушь. Но надо же как то доказать эти св-ва, вот и пытаюсь.

[paha]

Ответы на все Ваши вопросы даст линейный оператор $p_H$ ортогонального проектирования на подпространство $H\subset V$ (его существование и единственность -- стандартная теорема)
Дело в том, что $p_H^2=p_H$ и $H^\perp=\ker p_H$, $H={\rm im}\, p_H$, $p_H|_H={\rm id}_H$

[Henrylee]

Dilettante в сообщении #331940 писал(а):

У меня есть некое доказательство, но там встречается следующее: $a \in $орт. доп. $(H_1+H_2) \rightarrow a \notin H_1+H_2 $

незачем искусственно сужать необходимость
Просто $a\in (H_1+H_2)^{\bot}\Leftrightarrow a~\bot ~x+y~\forall x\in H_1, y\in H_2\Rightarrow a~\bot~x+0\dots$ и т.д.