Система счисления А.П. Стахова - перспективы

[Someone]

бобыль писал(а):

Я прочитал, что числа Лукаса в каком-то смысле двойственны числам Фибоначчи и поэтому необходимы. Но в каком смысле, я не понял...

Определим числа $L_n$ и $F_n$ равенством $\frac{L_n+F_n\sqrt{5}}{2}=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n$. Тогда $L_0=2$, $L_1=1$, $L_2=3$, $L_3=4$, $L_4=7$, $L_5=11$, ... и $F_0=0$, $F_1=1$, $F_2=1$, $F_3=2$, $F_4=3$, $F_5=5$, ....

[бобыль]

Спасибо, Someone. Но я снова недопонял, при чем здесь двойственность? К тому же в приведенном уравнении мы могли бы взять Ln с каким-то коэффициентом и получили бы иную последовательность Ln??

[Someone]

бобыль писал(а):

Но я снова недопонял, при чем здесь двойственность?

А я тоже не знаю, причём тут двойственность. Но то, что обе последовательности связаны неким естественным образом, несомненно.

[Alik]

А почему бы вам не спросить об этом у главного советского специалиста по числам Фибоначчи - Алексея Стахова, вот его обновленный mail
[e-mail]

[Alik]

Интересно заметить, что число два в степени корень из двух близко к "е", а двойка в степени фи дает "почти" тройку.
В связи с этим можно провести аналогию с системой счисления Бергмана и с троичной соответственно.
Вопрос - как представить в системах с таким иррациональным основанием целые числа? Нужно каким-либо образом скомпенсировать дробный "хвост". В стаховской системе это делается прибавлением сопряженного числа.

[Alik]

Вот некоторые новые материалы по "золотому сечению", в частности:

БЫСТРЫЕ АЛГОРИТМЫ ДИСКРЕТНОГО ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ,
РЕАЛИЗУЕМОГО В СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ С ИРРАЦИОНАЛЬНЫМ ОСНОВАНИЕМ
http://www.smr.ru/IPSI/research/publica ... o19333.pdf

DISCRETE ORTHOGONAL TRANSFORMS BASED ON FIBONACCI-TYPE RECURSIONS
http://citeseer.ist.psu.edu/265285.html

Residue Number System Implementation of Real Orthogonal Transforms
http://www.atips.ca/research/documents/ ... ogonal.pdf

Number of representations related to a linear recurrent basis
http://www.maths.manchester.ac.uk/~nikita/D-st.ps

Об одной системе счисления с иррациональным основанием
http://www.tspu.tula.ru/res/math/c_sbor ... 6_2003.htm

НЕОДНОЗНАЧНОСТь В СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ м-БОНАЧЧИ
Ambiguity in the m-Bonacci numeration system
http://tjn.fjfi.cvut.cz/~edita/publicat ... onacci.pdf

Unique representations of real numbers in non-integer bases
http://www.maths.manchester.ac.uk/~nikita/unique.ps

The summation function for the number of Fibonacci representations
http://www.maths.manchester.ac.uk/~nikita/paper5.ps

Almost Every Number Has A Continuum Of beta-Expansions
http://citeseer.ist.psu.edu/607170.html

THE FIRST MOMENT OF THE NUMBER OF 1'S FUNCTION IN THE
beta-EXPANSION OF THE POSITIVE INTEGERS
http://www.math-cs.cmsu.edu/~curtisc/articles/beta.pdf

Additive And Multiplicative Properties Of Beta-Integers
http://citeseer.ist.psu.edu/261106.html

Sum-of-digits functions for certain non-stationary bases
http://www.maths.manchester.ac.uk/~nikita/Paper4.ps

полезно посмотреть также

Zeckendorf Integer Arithmetic
http://citeseer.ist.psu.edu/569326.html

Numeration system based on generalized golden mean
http://linux.fjfi.cvut.cz/~ampy/main.ph ... .php&lg=en

An Exercise on Fibonacci Representations
http://citeseer.ist.psu.edu/590781.html

Expansions in non-integer bases: the top order and the tail
http://www.maths.manchester.ac.uk/~nikita/list.html

The exact number of squares in Fibonacci words
http://www.wisdom.weizmann.ac.il/~fraen ... ers/ten.ps

Remarks on History of Abstract Harmonic Analysis
http://mark.bu.edu/papers/182.pdf

[незваный гость]

незваный гость:

Alik
Замечание за дублирование сообщения в двух темах. В случаях, когда информация в одной теме имеет отношение к другой, следует помещать ссылку. Вопросы (например, как), пожалуйста, в ЛС.

[oleg314]

Привет, Алик. Странно, я долго сюда не заглядывал, зашел, а тут ты опять
Как успехи?

[Alik]

Здравствуйте!
Успехи - потихоньку, сейчас пытаюсь систематезировать и выложить вкратце всё самое интересное, что удалось найти, со времени написания статьи. Больше всё-таки из схемотехники...

[незваный гость]

незваный гость:

Alik, oleg314

Господа! Ваша личная переписка неуместна в тематическом форуме. Пользуйтесь, пожалуйста, ЛС (личные сообщения, приват).

[Alik]

Квадратные полиномы могут быть "формулами" для простых чисел.
Чтобы записать формулу такого полинома нужно обратиться к спирали Улама (Львов 1909)
http://en.wikipedia.org/wiki/Stanis%C5%82aw_Ulam
http://www.maa.org/editorial/mathgames/ ... 17_06.html
http://mathworld.wolfram.com/Prime-Gene ... omial.html
корни этих уравнений могут быть интересны как основание системы счисления.

Здесь в его качестве дробь из первых двух простых чисел
3/2 number system and Mahler’s problem
http://mathweb.sc.niigata-u.ac.jp/ant/S ... kiyama.pdf

МАТЕМАТИК: 3 - это простое число, 5 - простое, 7 - простое ..., а дальше доказательство по индукции.
ФИЗИК: 3 - простое число, 5 - простое, 7 - простое, 9 - ошибка эксперимента, 11 - простое ...
ИНЖЕНЕР: 3 - простое число, 5 - простое, 7 - простое, 9 - простое ...

[Alik]

Иорданский алгоритм на основании работ Стахова и Лужецкого:
An Algorithm for Accelerated Acquirement of Minimal Representation of Super-large Numbers
http://www.scipub.org/fulltext/jcs/jcs212877-880.pdf

Индийский универсальный вариант
Variations on the Fibonacci Universal Code
http://arxiv.org/ftp/cs/papers/0701/0701085.pdf