Криволинейные интегралы

[shur]

1.

Вычислить интеграл вдоль кривой $L$

$\int\limits_L {\dfrac{dl}{\sqrt 5(x-y)}$

$L: A(0;4) \to B(4;0)$

Вопрос в том - что интеграл имеет особенность в точке $x=2$, а я это не учитывал.

Вот как сделал.

Уравнение прямой, проходящей чез точки $A$ и $B$

$\dfrac{x-0}{4-0}=\dfrac{y-4}{0-4}$

$\dfrac{x}{4}=\dfrac{y-4}{-4}$=> $y=4-x$

$dl=\sqrt{1+(y'_x)^2}dx=\sqrt 2 dx$

$$\int\limits_L {\dfrac{dl}{\sqrt 5(x-y)}=\sqrt{\dfrac{2}{5}}\int_0^4 \dfrac{dx}{x-(4-x)}=\sqrt{\dfrac{2}{5}}\int_0^4 \dfrac{dx}{2x-4}=\sqrt{\dfrac{2}{5}}\int_{-4}^{4}\dfrac{dt}{2t}=\sqrt{\dfrac{1}{10}}\int_{-4}^{4}\dfrac{dt}{t}=\sqrt{\dfrac{1}{10}}(\ln |4| -\ln|-4|)=0$$

2) Вычислить поток векторного поля $\vec F=(x^2y-x)\vec i + (y^2x-2y)\vec j$

По контуру $L: \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{4}=1$

Правильно ли делаю?

$y=\pm \sqrt{4-x^2}$

$y'_x= \dfrac{-x}{\sqrt{4-x^2}}$

$$A=\int\limits_{L}(x^2y-x)dx+(y^2x-2y)dy=\int\limits_{-2}^{2}[x^2(\pm \sqrt{4-x^2})-x+((\pm \sqrt{4-x^2})^2x-2(\pm \sqrt{4-x^2}))\cdot \dfrac{-x}{\sqrt{4-x^2}}]dx$$

Очень громозко. Можно ли проще?

[ewert]

Ну как там ни крутись, а особенность в двойке -- откровенно расходящаяся, и тут уж ничего не сделать, и никак разумно не посчитать. Ну некорректна задачка -- хоть ты тресни. Во всяком случае -- для этого класса задач.

Вот если интегрировать не по прямой, а по какой-нибудь воистину кривой -- тогда другое дело.

[shur]

Спасибо, ewert! А как насчет второй задачи?! Там дальше можно так продолжать решать или неправильно?

[shur]

2) Найти работу силы $\vec F=(x^2y-x)\vec i + (y^2x-2y)\vec j$

По контуру $L: \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{4}=1$

Правильно ли делаю?

$x=2\cos\phi$
$y=2\sin\phi$

$dx=-2\sin\phi\cdot dt$
$dy=2\cos\phi \cdot dt$

$y'_x= \dfrac{-x}{\sqrt{4-x^2}}$

$$A=\int\limits_{L}(x^2y-x)dx+(y^2x-2y)dy=\int\limits_{0}^{2\pi}[(8\cos^2\phi \sin\phi-2\cos\phi)(-2\sin\phi)+(8\cos\phi \sin^2\phi-4\sin\phi)(2\cos\phi)] \cdot d\phi=$$

$$=\int\limits_{0}^{2\pi}[-16\cos^2\phi \sin^2\phi+2\cos\phi \sin\phi+16\cos^2\phi \sin^2\phi-4\cos\phi \sin\phi]d\phi=-2\int\limits_{0}^{2\pi}\cos(\phi) \sin(\phi)d\phi=$$

$$=2\int\limits_{0}^{2\pi}\cos(\phi)d(cos\phi)=\Bigl. cos^2\phi \Bigl|_{0}^{2\pi}=0$$