Параллелограмм в четырёхугольнике (теорема Вариньона)

[Pixar]

Я тут намалевал картинку для ясности:


Надо доказать, что фигура, вершины которой находятся на серединах четырёхугольника, является параллелограммом. Желательно доказывать через вектора.

Как сделал я. Сперва по кругу обозначил все стороны четырёхугольника как $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{d}$, так что в сумме они дают $\overrightarrow{0}$. И выразил стороны внутреннего "параллелограмма" так: $\overrightarrow{v_1} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}), \overrightarrow{v_2} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}) ...$ Дальше, следовательно нужно доказать, что фигура внутри обладает свойствами параллелограмма, то есть противоположные векторы равны, но с разными знаками, то есть: $v_1 = -v_3$ и $v_2 = -v_4$. Раскрою внутренности у 1-ого выражения, а второе будет аналогичным: $\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) = -\frac{1}{2}(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})$. Теперь, значит, всё упирается в последнее уравнение, которое упрощённо выглядит так: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = -(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})$, но левая и правая часть этого уравнения обозначают одну и ту же диагональ, следовательно, уравнение верно и внутренний четырёхугольник обладает свойствами параллелограмма.

Теперь вопрос. Хорошо ли я доказал вышеуказанное свойство? Если - нет, то как надо было бы? Может есть более изящный способ?

PS: о, я только сейчас узнал, что у этой теоремы есть даже название :) Теорема Вариньона(wiki)

[12d3]

Pixar в сообщении #330771 писал(а):

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = -\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}$

Тут очепятка.
А вообще это самое простое доказательство, достаточно подробное.

[Pixar]

12d3 в сообщении #330774 писал(а):

Pixar в сообщении #330771 писал(а):

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = -\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}$

Тут очепятка.
А вообще это самое простое доказательство, достаточно подробное.

Всё, поправил.
Дело в том, что мне не нравится последнее утверждение, что две части уравнения описывают одну и ту же диагональ. Это может быть не очевидно. Как показать, что это одна и та же диагональ, а не что-то другое?

[Mathusic]

Не знаю как Вы доказали, но наиболее быстрое д-во такое. Проводим в четырёхугольнике любую диагональ $d$, вместе с ней и двумя смежными сторонами 4-ка получаем треугольник, средняя линия которого есть сторона пар-ма и параллельна $d$. Т.о. получили, что надо по определению.
(P.S. Это теорема Вариньона)

[12d3]

Pixar в сообщении #330778 писал(а):

Как показать, что это одна и та же диагональ, а не что-то другое?

Можно перенести все в левую часть и сказать, что она равна 0 потому что

Pixar в сообщении #330771 писал(а):

Сперва по кругу обозначил все стороны четырёхугольника как $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{d}$, так что в сумме они дают $\overrightarrow{0}$

[Pixar]

12d3 в сообщении #330782 писал(а):

Pixar в сообщении #330778 писал(а):

Как показать, что это одна и та же диагональ, а не что-то другое?

Можно перенести все в левую часть и сказать, что она равна 0 потому что

Pixar в сообщении #330771 писал(а):

Сперва по кругу обозначил все стороны четырёхугольника как $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{d}$, так что в сумме они дают $\overrightarrow{0}$

Не ожидал :). Спасибо!