Аксиомы Пеано

[Padawan]

Непустое множество $N$ с фиксированныс элементом (1) $1\in N$ и операцией (2) $\cdot'\colon N\to N$ называется множеством натуральных чисел, если выполнены
аксиомы Пеано:
(3) $x'\neq 1$
(4) Если $x'=y'$, то $x=y$
(5) Если множество $M\subset N$ удовлетворяет условиям
а) $1\in M$ и б) из $x\in M$ следует $x'\in M$,
то $M=N$.

У меня вопросы:
1) верно ли, что существование такого множества фактически является одной из аксиом теории множеств?
2) как доказать, что если $<N,1,\;'>$ и $<N^*,1^*,\;'^*>$ -- две модели для данной системы аксиом, то эти модели изоморфны?

[maxmatem]

иными словами вы хотите доказать категоричность данной теории? мне кажется есть что-то похожее в книге Нечаева "Числовые системы".

[Профессор Снэйп]

1) Ну, это смотря какую "теорию множеств" Вы рассматриваете. В ZFC такой аксиомы нет, хотя утверждение о существовании системы с требуемыми свойствами, безусловно, доказуемо. Но Вы можете рассмотреть свой список аксиом терии множеств, никто этого не запрещает

2) Множества $M = \{ 1^{(n)} : n \in \mathbb{N} \} \subseteq N$ и $M^\ast = \{ (1^\ast)^{(n)} : n \in \mathbb{N} \} \subseteq N^\ast$удовлетворяют условиям (5а) и (5б), значит, совпадают с $N$ и с $N^\ast$ соответственно. Требуемый изоморфизм налицо

-- Вт июн 01, 2010 08:25:18 --

maxmatem в сообщении #326106 писал(а):

категоричность данной теории?

Можно сказать и так, хотя теория второго порядка...

[Padawan]

Профессор Снэйп
А что значит $n\in\mathbb N$ ?

[Padawan]

Профессор Снэйп в сообщении #326162 писал(а):

1) Ну, это смотря какую "теорию множеств" Вы рассматриваете. В ZFC такой аксиомы нет, хотя утверждение о существовании системы с требуемыми свойствами, безусловно, доказуемо

А аксиома бесконечности это не то?

[AD]

Padawan в сообщении #326166 писал(а):

А что значит $n\in\mathbb N$ ?

Это означает "зафиксируем одну любую модель, и докажем, что все ей изомофрны. Множество $M^*$ взято для красоты." Похоже?

-- Вт июн 01, 2010 09:58:06 --

Padawan в сообщении #326190 писал(а):

А аксиома бесконечности это не то?

Не совсем. Там утверждается существование какого-то множества, пересечение всех которых и будет моделью натуральных чисел. Как-то так.

[Padawan]

Профессор Снэйп
AD
Мне непонятно, что означает запись $1^{(n)}$. $n$ штрихов у $1$, где $n\in\mathbb N$ -- элемент множества $\mathbb N$ из модели $<\mathbb N, 1,\; '>$, пусть даже некторой фиксированной.

Мне кажется строить изоморфизм надо как-то так: положим $f(1)=1^*$. Пусть для $x\in N$ $f(x)$ уже определено. Тогда полагаем $f(x')=f(x)'^*$. Теперь надо доказать, что 1) Отображение $f$ будет определено для всех $x\in N$, причем корректно. То есть невозможно, что на некотором шаге мы вступим в противоречие с уже существующим определением на одном из предыдущих шагов 2) Отображение $f$ - биекция

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #326166 писал(а):

А что значит $n\in\mathbb N$?

Это значит, что $n$ является натуральным числом. То есть непредельным ординалом с непредельными элементами.

Padawan в сообщении #326190 писал(а):

А аксиома бесконечности это не то?

Нет, не то.

Padawan в сообщении #326198 писал(а):

Мне непонятно, что означает запись $1^{(n)}$. $n$ штрихов у $1$, где $n\in\mathbb N$ -- элемент множества $\mathbb N$ из модели $<\mathbb N, 1,\; '>$, пусть даже некоторой фиксированной.

$n$ штрихов у $1$ --- это элемент множества $N$, а не $\mathbb{N}$. Не путайте: $\mathbb{N}$ жирное --- это натуральные числа, а $N$ простое --- элементы Вашей модели, о которой Вы говорите в условии.

-- Вт июн 01, 2010 17:46:23 --

AD в сообщении #326195 писал(а):

Это означает "зафиксируем одну любую модель, и докажем, что все ей изомофрны. Множество взято для красоты." Похоже?

Немного не то. Вы тоже, по ходу, не обратили внимание, что в моём тексте $\mathbb{N}$ и $N$ --- разные буквы.

-- Вт июн 01, 2010 17:50:12 --

AD в сообщении #326195 писал(а):

Там утверждается существование какого-то множества, пересечение всех которых и будет моделью натуральных чисел. Как-то так.

Ну да, как-то так Существование множества $\mathbb{N} = \omega$ следует из аксиомы бесконечности и аксиомы выделения.

-- Вт июн 01, 2010 17:56:19 --

Padawan в сообщении #326198 писал(а):

Мне кажется строить изоморфизм надо как-то так: положим $f(1)=1^*$. Пусть для $x\in N$ $f(x)$ уже определено. Тогда полагаем $f(x')=f(x)'^*$. Теперь надо доказать, что 1) Отображение $f$ будет определено для всех $x\in N$, причем корректно. То есть невозможно, что на некотором шаге мы вступим в противоречие с уже существующим определением на одном из предыдущих шагов 2) Отображение $f$ - биекция

Другими словами, надо положить $f(1^{(n)}) = (1^\ast)^{(n)}$

Здесь $n \in \mathbb{N}$, $1^{(n)} \in N$ и $(1^\ast)^{(n)} \in N^\ast$ --- три элемента трёх разных множеств.

[Padawan]

Профессор Снэйп
Вам хорошо, Вы понимаете, что такое натуральное число, а я уже не понимаю, а только чувствую

Покопался в Википедии и вот что нашел
http://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms#Models

Цитата:

Dedekind proved in his 1888 book, What are numbers and what should they be (German: Was sind und was sollen die Zahlen) that any two models of the Peano axioms (including the second-order induction axiom) are isomorphic.

Наверное, если бы изоморфизм был налицо, Дедекинд не написал бы книгу...

[Padawan]

Нашел доказательство в книге Феферман С. Числовые системы: Основания алгебры и анализа. М.: Наука, 1971

[AD]

Омг Давно я не чувствовал себя таким нуубом.
Почитать что-ли.

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #326641 писал(а):

Наверное, если бы изоморфизм был налицо, Дедекинд не написал бы книгу...

Дедекинд был крут, но сейчас он отстал примерно на 120 лет...

Вас что интересует? Как в аксиоматической теории множеств (например, ZFC) доказывается, что любые две модели вашей теории изоморфны? Я уже написал и могу расписать подробнее, если что-то непонятно. Что-то другое интересует? Тогда сформулируйте точно, что именно?

[Padawan]

Профессор Снэйп в сообщении #326828 писал(а):

Padawan в сообщении #326641 писал(а):

Наверное, если бы изоморфизм был налицо, Дедекинд не написал бы книгу...

Дедекинд был крут, но сейчас он отстал примерно на 120 лет...

Вас что интересует? Как в аксиоматической теории множеств (например, ZFC) доказывается, что любые две модели вашей теории изоморфны? Я уже написал и могу расписать подробнее, если что-то непонятно. Что-то другое интересует? Тогда сформулируйте точно, что именно?

Да, да! Распишите поподробнее. Пока кроме непонятного равенства и фразы "изоморфизм налицо" я доказательства не увидел. По сути Вы просто сказали "это очевидно".

(Оффтоп)

Зря Вы так о Дедекинде

[Padawan]

Ещё немного позанудничаю.
Допустим мы определяем конечное множество, как такое множество, что существует его биекция на отрезок $[1,n]$, $n\in\mathbb N$ (при этом мы предварительно определяем порядок на $\mathbb N$, и $[1, n]=\{x\in\mathbb N : x\leqslant n\}$).

Как тогда доказать, что подмножество конечного множества само конечно, и что не существует биекции конечного множества на своё собственное подмножество?

-- Вс июн 13, 2010 11:56:55 --

О, по первой ссылке в google нашел http://www.pm298.ru/kbmnozh.php. Какой-то умный человек писал, как-будто специально для меня

[Xaositect]

Padawan в сообщении #330704 писал(а):

Ещё немного позанудничаю.
Допустим мы определяем конечное множество, как такое множество, что существует его биекция на отрезок $[1,n]$, $n\in\mathbb N$ (при этом мы предварительно определяем порядок на $\mathbb N$, и $[1, n]=\{x\in\mathbb N : x\leqslant n\}$).

А пустое множество? Впрочем, это мелочи.

Цитата:

Как тогда доказать, что подмножество конечного множества само конечно

Можно по индукции: любое подмножество $[1,1]$ конечно. Далее, пусть все подмножества множества $[1,n-1]$ конечны. Любое подмножество $[1,n]$ либо является подмножеством $[1,n-1]$, либо есть $\{n\}\cup A, A\subseteq [1,n-1]$. Во втором случае $\varphi'(x) = \begin{cases}\varphi(x), x\in A\\m+1, x = n\end{cases}$ задает биекцию на $[1,m+1]$, если $\varphi$ - биекция $A\leftrightarrow [1,m]$ (ну и отдельно разбор пустого $A$: $\{n\}$ равномощно $[1,1]$)