Как вычислить площадь поверхности n-мерного куба?

[Niclax]

Здравствуйте! Возник такой вопрос. Помогите на него ответить или подскажите литературу, где есть решение данной задачи. Заранее спасибо

P.S. Как я понимаю, в $\mathbb{R}^n$ кубом будет множество вида $[a,b]^n$, а площадь - мера Лебега на поверхности куба.

[gris]

А что такое площадь поверхности, да и сама поверхность, n-мерного куба?
Это $n-1$-мерный объём $n-1$-мерных граней?

То есть для квадрата $4|a-b|$, для куба $6|a-b|^2$ и так далее?

[Niclax]

gris в сообщении #330356 писал(а):

А что такое площадь поверхности, да и сама поверхность, n-мерного куба?

Поверхностью куба, я полагаю, будет его граница, а площадью (n-1)-мерная мера Лебега.

Цитата:

То есть для квадрата $4|a-b|$, для куба $6|a-b|^2$ и так далее?

Да, т.е. для случая n=1,2,3 знают все, а как обобщить для n-мерного случая ?

[Padawan]

Niclax в сообщении #330362 писал(а):

gris в сообщении #330356 писал(а):

А что такое площадь поверхности, да и сама поверхность, n-мерного куба?

Поверхностью куба, я полагаю, будет его граница, а площадью (n-1)-мерная мера Лебега.

Цитата:

То есть для квадрата $4|a-b|$, для куба $6|a-b|^2$ и так далее?

Да, т.е. для случая n=1,2,3 знают все, а как обобщить для n-мерного случая ?

$2n|a-b|^{n-1}$

[gris]

Саму формулу можно доказать по индукции.
А строго вывести из определения многомерного куба.

[Padawan]

А сколько у $n$-мерного куба граней? $2n$ - по две для каждого направления.

[ewert]

Padawan в сообщении #330380 писал(а):

А сколько у $n$-мерного куба граней? $2n$ - по две для каждого направления.

а gris давно уж все и постирал, он шустрый, лишь самую малость оставил

[gris]

Редчайшие случаи обращения высочайшего внимания, равно как, и даже в большей степени, не обращения, тщательно анализируюттся, трактуются не менее, чем в пяти вариантах, запоминаются, переживаются, принимаются близко к.

По сабжу. Я думал, что на $\mathbb R^n$ можно различными способами наводить меру Лебега, но потом подумал, что $\mathbb R^n$ уже предполагает обычное многомерное обобщение меры Евклидовой геометрии, а учебника нет под рукой. Поэтому и стёр это своё предположение.

[Niclax]

Вот определение площади поверхности:

Если E - k-мерное элементарное измеримое множество, т.е. множество$\subseteq\mathbb{R}^n$, имеющее k-мерную параметризацию $\phi$ такую, что $\phi^{-1}(E)$ измерим по Лебегу в Dom$\phi$, то его k-мерной мерой Лебега(площадью) по определению будет:

\lambda_k(E)=$\int\limits_{\phi^{-1}(E)} |\det{d\phi(t)}|d\lambda_k(t)=\int\limits_{\phi^{-1}(E)} |\det{d\phi(t)}|dt_1...dt_k$

Для остальных(счетных объединений ЭИМ и дополнений таких множеств) площадью будет стандартное продолжение меры Лебега для ЭИМ (т.е. инфинум сумм площадей покрытий элементарными множествами).

[Djo7]

Цитата:

$2n|a-b|^{n-1}$

Вы чего-то путаете, там будет$(2+2^n)\cdot |a-b|^{n-1})$

[ewert]

Niclax в сообщении #330582 писал(а):

Если E - k-мерное элементарное измеримое множество, т.е. множество$\subseteq\mathbb{R}^n$, имеющее k-мерную параметризацию $\phi$ такую, что $\phi^{-1}(E)$ измерим по Лебегу в Dom$\phi$, то его k-мерной мерой Лебега(площадью) по определению будет:

\lambda_k(E)=$\int\limits_{\phi^{-1}(E)} |\det{d\phi(t)}|d\lambda_k(t)=\int\limits_{\phi^{-1}(E)} |\det{d\phi(t)}|dt_1...dt_k$

Ни хрена себе...

Djo7 в сообщении #330584 писал(а):

Цитата:

$2n|a-b|^{n-1}$

Вы чего-то путаете, там будет$(2+2^n)\cdot |a-b|^{n-1})$

Ну какая ж тут может быть путаница-то:

Padawan в сообщении #330380 писал(а):

А сколько у $n$-мерного куба граней? $2n$ - по две для каждого направления.

(каждая грань характеризуется ровно тем, что на ней ровно одна из координат равна либо нулю (логически), либо единичке (логически))

[Djo7]

$2n$ не равно$2+2^n$

[Padawan]

Niclax в сообщении #330582 писал(а):

Вот определение площади поверхности:

Если E - k-мерное элементарное измеримое множество, т.е. множество$\subseteq\mathbb{R}^n$, имеющее k-мерную параметризацию $\phi$ такую, что $\phi^{-1}(E)$ измерим по Лебегу в Dom$\phi$, то его k-мерной мерой Лебега(площадью) по определению будет:

\lambda_k(E)=$\int\limits_{\phi^{-1}(E)} |\det{d\phi(t)}|d\lambda_k(t)=\int\limits_{\phi^{-1}(E)} |\det{d\phi(t)}|dt_1...dt_k$

Для остальных(счетных объединений ЭИМ и дополнений таких множеств) площадью будет стандартное продолжение меры Лебега для ЭИМ (т.е. инфинум сумм площадей покрытий элементарными множествами).

Площадь поверхности вообще очень сложное понятие. По-моему, самое сложное в курсе математического анализа.

Лебег дал такое определение -- нижний предел площадей многогранных (полиэдральных) поверхностей, равномерно аппроксимирующих нашу поверхность. См. подробнее Сакс "Теория интеграла"

[Niclax]

Padawan в сообщении #330671 писал(а):

Площадь поверхности вообще очень сложное понятие. По-моему, самое сложное в курсе математического анализа.

Лебег дал такое определение -- нижний предел площадей многогранных (полиэдральных) поверхностей, равномерно аппроксимирующих нашу поверхность. См. подробнее Сакс "Теория интеграла"

У меня, по сути, это и написано. Вопрос в том, как это определение применить к данному примеру.

[gris]

Ну если некоторая полиэдральная поверхность совпадает с объединением граней куба, то её площадь и является тем самым нижним пределом. Собственно, аппроксимация с неё начинается, ей и заканчивается.