Олимпиада "Обыкновенные дифференциальные уравнения"

[V.V.]

Олимпиада "Обыкновенные дифференциальные уравнения", Мехмат МГУ, 2006

1. (1 балл) Одно из решений системы уравнений $\dot{x}=A(t)x+f(t)$ устойчиво по Ляпунову. Докажите, что любое решение устойчиво по Ляпунову.

2. (2) Найдите производную порядка $n$ по параметру $a$ в
точке $a=0$ выражения $\det\left(\int\limits_0^a\exp(At)dt\right)$, где $A$ - произвольная обратимая матрица размерности $n$.

3. (2) Докажите, что у линейной системы $\dot{x}=Ax$ не может быть предельных циклов (изолированных периодических решений).

4. (5) Известно, что $x\equiv 0$ - решение уравнения $\dot{x}=f(x,t)$, $x\in\mathbb{R}$, и что решение $y\equiv 0$ его линеаризации $\dot{y}=f'_x(0,t)y$ асимптотически устойчиво. Покажите на примере, что нулевое решение исходного уравнения может не быть асимптотически устойчивым.

5. Дифференциальное уравнение $\dot{x}=f(x)$, $x\in\mathbb{R}$ с непрерывной правой частью не удовлетворяет в некоторых точках условиям теоремы о единственности решения. Может ли оно иметь:
a) (2 балла) множество решений $x_a(t)$, для которых $a\in\mathbb{R}$, $x_a(0)=0$, и $x_a(1)=a$?
б) (3 балла) два решения $x_1(t), x_2(t)$, такие, что $x_1(0)=0$, $x_1(1)=1$, а $x_2(0)=1$, $x_2(1)=0$?
в) (2) такие же вопросы для уравнения вида $\dot{x}=f(x,t)$, $x\in\mathbb{R}$.

6. (3) Докажите, что для всякого ненулевого решения $x(t)$ уравнения $\ddot{x}+\omega^2(t^2+1)x=0$ и любого $\varepsilon>0$ найдутся два различные момента времени $t_1$, $t_2$ такие, что $x(t_1)=x(t_2)=0$ и $|t_1-t_2|<\varepsilon$.

7. (5) Докажите, что нулевое решение уравнения $\ddot x+\varphi(\dot x)+f(x)=0$ асимптотически устойчиво, если известно, что $\varphi(0)=f(0)=0$, и при $x\neq 0$, $xf(x)>0$, $x\varphi(x)>0$. ($\varphi$, $f$ - гладкие.)

8. (5) Решите систему уравнений $\dot{x}=Ax$, с матрицей
$A=\begin{pmatrix} 0 &-1 &\sin t\\ 1 &0 &-\cos t\\ -\sin t &\cos t &0 \end{pmatrix}$.

9. а) (2) Пусть $x_1(t)$ и $x_2(t)$ - два линейно независимых решения линейного дифференциального уравнения третьего порядка. Может ли определитель Вронского $x_1(t)$ и $x_2(t)$ обращаться в 0 на некотором интервале?
б) (3) Пусть $x_1(t), x_2(t)$ и $x_3(t)$ - три линейно независимых решения линейного дифференциального уравнения четвертого порядка. Может ли определитель Вронского $x_1(t), x_2(t)$ и $x_3(t)$ обращаться в 0 на некотором интервале?

10. (3) Нарисуйте фазовый портрет системы
$\left\{ \begin{aligned} \dot x &= x^2-y^2-x,\\ \dot y &= 2xy-y.\\ \end{aligned} \right.$

11. (4) Оцените отличие от $2\pi$ периода решения уравнения физического маятника $\ddot{x}=-\sin x$ с малой амплитудой $x(0)=\mu$.

12. (5) Правая часть дифференциального уравнения математического маятника с трением (и внешней силой):
$\ddot{x}+\alpha\dot{x}+\beta x=f(t),$является гладкой функцией, удовлетворяющей условию $|f(t)|\leq(C+|t|)^{-k}$, $k>0$, $\alpha$ - неотрицательное, $\beta$ - положительное числа.

При каких значениях $\alpha$, $\beta$, $k$ можно так выбрать $f(t)$, чтобы раскачать маятник, т.е. чтобы для некоторого решения $\sup\limits_{t\in[0,T]} |x(t)|\to\infty$ при $T\to\infty$?