Импликация, инверсия, ИЛИ

[cTarn]

Нижеследующий вопрос я задал на другом форуме. Мне там была оказана помощь, но остались неясности и мне посоветовали обратиться сюда.

Приведу частичные цитаты сообщений с того форума.



from cTarn:
Задачка взята из "Дискретная математика и комбинаторика" Джеймса Андерсона.

Цитата:

Пусть p, q и r обозначают следующие высказывания:
p : Он купить компьютер.
q : Он будет праздновать всю ночь.
r : Он выиграет в лотерею.
Запишите следующие высказывания в виде символических выражений:
....
г) Если он не выиграет в лотерею или не купит компьютер, то праздновать всю ночь не будет.

Я решаю задачу так: $\sim r\vee \sim p \to \sim q$

В ответах приведено такое решение:
$ \sim (r \vee p) \to \sim q $

Свой вариант я выработал буквально так: если НЕ r ИЛИ НЕ p, то НЕ q. Т.е. то что написано в тексте, то и выразил в логическом выражении.

Но построив таблицы истинности, понял что мой вариант неверный. Например, r = 0, p = 1, q = 1. Если перейти к высказываниям, то получим: "Он не выиграл в лотерею. Он купил компьютер. Он праздновал всю ночь."
Подставим эти значения в мой ответ и ответ из книжки.
В моем случае высказывание при этих условиях импликация ложна, а по условию задачи она должна быть истинной.
Т.е. праздновать он может, если купил комп ИЛИ выиграл деньги. У меня же выходит так: он будет праздновать, если купил комп И получил выигрыш.


Все ли верно в моих рассуждениях?
Если верно, то как из условия задачи можно понять, как верно оформлять подобный высказывания в виде символических выражений? Если следовать слова в слова по тексту, то получается неверный вариант.



from Estimate:

Цитата:

Ну так все правильно. У Вас условие "Если он не выиграет в лотерею или не купит компьютер" буквально означает, что для того, что бы праздновать - ему нужны оба и лотерея и комп.

А решается просто. Видите слово "Если" перед обоими условиями? Это означает

$\sim(A \vee B)$.

Цитата:

"Если он не купит компьютер или если он не выиграет в лотерею" будет

$\sim A \vee \sim B$.



from Виктор В:

Цитата:

Цитата:

from Estimate:Ну так все правильно. У Вас условие "Если он не выиграет в лотерею или не купит компьютер" буквально означает, что для того, что бы праздновать - ему нужны оба и лотерея и комп.

Добрый вечер!
То что вы сказали означает -

$A \wedge B \to q$

Цитата:

, но из этого справедливо отрицание обеих частей -

$\sim A \vee \sim B \to \sim q$

Цитата:

- решено было правильно!

from cTarn:

Цитата:

Не уверен что

$A \wedge B \to q$

Цитата:

по закону де Моргана преобразовывается в

$\sim A \vee \sim B \to \sim q$ .

Цитата:

Это если бы там не было импликации, а стоял знак равенства или эквивалентности, тогда другое дело.
Закон контрапозиции тут тоже не подходит.

Импликация бывает ложной только в случае TRUE -> FALSE.
Рассмотрим два варианта:
а) он может выиграть в лотерею, не купить комп, но будет праздновать
б)он может выиграть в лотерею, не купить комп, но не будет праздновать.

В обоих случаях импликация истинна.
Поправте, если я где-то ошибся в рассуждениях.

Т.е. с первоначальным вопросом я разобрался, но вот хотел бы получить комментарии по сообщению Виктора В.
(Можно ли делать подобные вещи с импликацией?) На том форуме он больше не отвечал мне.

[arseniiv]

Как видно при сравнении с правильным ответом, он не прав. Он забыл, в общем-то, поменять местами аргументы имликации.

-- Сб июн 12, 2010 23:06:48 --

Смотрите: $A \to B \sim \neg A \vee B \sim \neg \neg B \vee \neg A \sim \neg B \to \neg A$.

[cTarn]

Выше я сделал неверно заявление:

Цитата:

Это если бы там не было импликации, а стоял знак равенства или эквивалентности, тогда другое дело.
Закон контрапозиции тут тоже не подходит.

По невнимательности посмотрел не на ту строку.
Цитата из книги:
С условным высказыванием - импликацией $p \to q$ - связаны еще три типа высказываний: конверсия, инверсия и контрапозиция высказывания $p \to q$. Они определяются следующим образом:
...
$\neg p \to \neg q$ инверсия высказывания $p \to q$
Конец цитаты.

Т.е. агрументы импликации можно инвертировать. Но ответ на конкретную задачу Виктора неверен.

arseniiv в сообщении #330520 писал(а):

Как видно при сравнении с правильным ответом, он не прав. Он забыл, в общем-то, поменять местами аргументы имликации.

-- Сб июн 12, 2010 23:06:48 --

Смотрите: $A \to B \sim \neg A \vee B \sim \neg \neg B \vee \neg A \sim \neg B \to \neg A$.

Ага, я инверсию неверно написал. Вместо тега \neg использовал \sim. (В книжке инверсия рисуется как тег \sim)
Объясните, что означает в этой формуле тег \sim? Тогда я дальше смогу разбираться, что Вы написали в формуле и с этим предложением "Он забыл, в общем-то, поменять местами аргументы имликации."
Там есть $... \neg \neg B \vee \neg A ...$. Я так понимаю, это запись вида $... \neg (\neg B \vee \neg A) ...$?

[arseniiv]

cTarn в сообщении #330542 писал(а):

Я так понимаю, это запись вида $... \neg (\neg B \vee \neg A) ...$?

Нет. А $\sim$ — эквивалентность. Это вроде не инверсия, а контрапозиция. Названия не помню.

cTarn в сообщении #330542 писал(а):

Т.е. агрументы импликации можно инвертировать.

Конечно можно, они же высказывания. Но это не означает, что инверсия импликации эквивалентна самой импликации.

[cTarn]

Цитата:

Это вроде не инверсия, а контрапозиция.

В вышеуказанной книжке это относится к свойствам контрапозиции.

Спасибо за помощь. Теперь я разобрался.