Теорема

[Djo7]

Скажите , а существует обобщение теоремы о пересечении биссектрис в треугольнике на случай произвольного деления угла(что-то наподобие теоремы Чевы, которая для медиан и "не совсем медиан)

-- Сб июн 12, 2010 18:05:04 --

Звучать она будет примерно так:" В треугольнике проведем лучи из его вершин так, чтобы они пересекались в одной точке и померим, в каком отношении эти лучи делят углы, а теперь сама теорема: если мы в другом произвольном треугольнике разделим лучами углы в вышеупомянутом отношении, то эти лучи пересекутся в одной точке" Скажите, это верно (по-моему да)

-- Сб июн 12, 2010 18:21:29 --

(Оффтоп)

Нет ответа,значит, ее наверное еще не придумали

[AD]

теорема Морлея. Нра?

-- Сб июн 12, 2010 18:33:53 --

Djo7 в сообщении #330416 писал(а):

Нет ответа,значит, ее наверное еще не придумали

Пожалуйста, на всякий случай перечитайте правила в районе пункта III.1.

Цитата:

Также напоминаем о недопустимости искусственного поднятия темы за счет неинформативных сообщений. Это является нарушением правил. Возможно, Вам просто не повезло, и в настоящее время на форуме нет специалиста, способного ответить на вопрос, или он занят другими делами. А возможно, что Вы не сумели заинтересовать участников форума своим вопросом или задали его в слишком общем виде. В любом случае не забывайте, что никто никому ничего здесь не должен.

[Djo7]

Нет, немного не то, у нас один луч из каждого угла..значит, нет такой?

[Padawan]

AD в сообщении #330442 писал(а):

теорема Морлея. Нра?

А при чем тут? Автор темы о другом спрашивал. Я думаю, верна ли высказанная гипотеза?

[AD]

Ну так значит для деления 1:2 уже неверно (ибо треугольник, очевидно, будет невырожденным). Или я чего-то не понимаю?

[gris]

А не связана теорема Djo7 с аффинными преобразованиями?

А мне очень нар тео Мор. Её ВШ для трисекции использовал, по моему.

[Djo7]

Padawan в сообщении #330449 писал(а):

AD в сообщении #330442 писал(а):

теорема Морлея. Нра?

А при чем тут? Автор темы о другом спрашивал. Я думаю, верна ли высказанная гипотеза?

Я проверил для двух произвольных треугольников, все выполняется

-- Сб июн 12, 2010 18:39:17 --

AD в сообщении #330450 писал(а):

Ну так значит для деления 1:2 уже неверно (ибо треугольник, очевидно, будет невырожденным). Или я чего-то не понимаю?

Вы наверное что-то спутали

-- Сб июн 12, 2010 18:39:39 --

gris в сообщении #330451 писал(а):

А не связана теорема Djo7 с аффинными преобразованиями?

Не исключено, друг мой...

[Padawan]

gris в сообщении #330451 писал(а):

А не связана теорема Djo7 с аффинными преобразованиями?

При афинных преобразованиях не сохраняется отношение углов.

Djo7 в сообщении #330452 писал(а):

Я проверил для двух произвольных треугольниках, все выполняется

В смысле? Вы её доказали? Или построение выполнили на конкретных треугольниках?

[Djo7]

для двух конкретных, сейчас построил еще один пример, и снова все пересекается

(Оффтоп)

чудеса!

-- Сб июн 12, 2010 18:50:18 --

Цитата:

При афинных преобразованиях не сохраняется отношение углов.

Вот это плохо, поэтому счел логичным рассмотреть треугольник, вписанный в окружность , тогда с изменением углов все хорошо

[Padawan]

Djo7
Попробуйте так доказать: Пусть в треугольнике $ABC$ из углов $A$ и $B$, равных $\alpha$ и $\beta$, проведены лучи $AD$ и $BD$. Пусть угол $CAD=p\alpha$, $0<p<1$, угол $ABD=q\beta$, $0<q<1$. Пусть угол $C$ равен $\gamma$, и угол $BCD=r\gamma$. Надо доказать, что $r=r(p,q)$.

[Djo7]

Что значит $r=r(p,q)$?

[Padawan]

Значит, зависит только от $p$ и $q$. Вообще, может еще и от $\alpha$ с $\beta$ зависеть. Выразите, если тригонометрию знаете. Это, что называется, решение "в лоб". Лучше, конечно, чисто геометрически решать.

[Djo7]

интересно, а для высот и "не совсем высот" гипотеза тоже будет верна?
Padavan, геометрическое решение намного лучше и красивее, а в лоб можно... но скучно как-то

(Оффтоп)

это не геометрия

[Батороев]

Решил проверить гипотезу на частном случае.

Имеется равносторонний треугольник $ABC$.
Проведем высоту $BD$.
Внутри треугольника находим точку $O$ такую, что
$\angle BAO= \angle CAO$
$\angle ABO = 2 \angle CBO$
$\angle ACO = 2 \angle BCO$

Перейдем к треугольнику $BDC$.
На $OC$ находим точку $0_1$ такую, что $\angle DBO_1=2\angle CBO_1$

Согласно предлагаемой гипотезе должно получиться $\angle BDO_1=\angle CDO_1$

В треугольнике $CBO$ имеется биссектриса $BO_1$, которая делит сторону $OC$ в отношении
$\dfrac {OO_1}{O_1C} = \dfrac {BO}{BC}=\dfrac {1}{2 \cos 20^{\circ}}$
С учетом того, что $OO_1+O_1C=BO$
получаем $O_1C = \dfrac {BC}{1+2\cos 20^{\circ}}$ (1)

Из треугольника $DCO_1$ по теореме синусов получаем:
$O_1C = \dfrac {BC \sin 45^{\circ}}{2\sin 95^{\circ}}$ (2)

Считая по (1) и (2), получаем близкие, но все же разные значения.

[Djo7]

Сержант Баторыев, я выполнил эти построения и , к величайшему сожалению ,получил отклонения на $3-5$ градусов

(Оффтоп)

как не хочется спускать в унитаз такую красивую теорему

, может быть, она верна приближенно? Ведь отклонение совсем ничтожно.
P.S. О чудо! Я опроверг эту гипотезу для прямоугольных треугольников, у меня получилось, что точность падает с увеличением тангенса угла в прямоугольном треугольнике(КАК ЖАЛЬ), могу , если хотите, выложить доказательство (не очень строгое)
P.S. P.S. А что про гипотезу для высот и " не совсем высот"?
Вообще точность падает не очень сильно, и теорема "почти" верна