Отношение транзитивности

[Ирина1]

Доброго времени дня!
Задача: Для множества А имеет место отношение R, такое, что xRy. Постройте граф отношения, если x кратно y на множестве Z. Назовите (используя граф) свойства этого отношения, если А={45, 5, 10, 2, 8}.

Вопрос:
1. Проблема в выяснении транзитивности. По определению должны быть пары xRy и yRz, но у меня нет пар такого вида, т. е. я не могу проверить условие транзитивности. Значит ли это, что на данном множестве отношение не транзитивно?
2. Граф отношения должен быть ориентированный или нет?
3. Является ли асимметричность отношения свойством, которое тоже нужно упоминать?
4. Если отношение асимметрично, то оно обязательно антисимметрично? (Думаю, что да. Хотя...)

Извините, много вопросов.
Спасибо.

[GAA]

Отношение — это подмножество декартового произведения; приведите Ваше отношение. Для записи таблицы можно воспользоваться тегом code (коряво, но быстро), либо нотацией $\LaTeX$ (красиво, но чуть дольше). Например, можно в ячейках приводимой ниже таблицы указать *, если этот элемент декартового произведения принадлежит отношению

(y)
45 |  |  |  |  |  |
10 |  |  |  |  |  |
 8  |  |  |  |  |  |
 5  |  |  |  |  |  |
 2  |  |  |  |  |  |
    2  5  8  10 45 (x)

Затем приведите определения транзитивности, симметричности, асимметричности и антисимметричности, и покажите, как Вы проверяете их выполнение.

[Ирина1]

Мне бы получить ответ хотя бы на первый вопрос по транзитивности. Думаю, никакая матрица здесь не нужна. Отношение R - "быть кратным", х кратно у. вопрос в том, что я не могу сообразить: если нет пар вида xRy и yRz, то как проверить xRz?
Ясно, если было бы дано, например, множество натуральных чисел, проверить свойство легко. А на таком маленьком множестве?

[GAA]

Необходимости в табличном представлении отношения нет, но оно очень удобно для ответа, как на первый вопрос, так и на четвертый (особенно! на четвертый). Можно записать отношение и в виде списка пар, но наглядности при этом будет значительно меньше.

Если Вас интересует только ответ на первый вопрос, то приведите отношение в виде таблицы (или в виде списка), определение транзитивности и покажите, как Вы проверяете выполнение этого определения.

[Ирина1]

(45,45), (45,5), (5,5), (10,5), (10,2), (8,2), (8,8), (10,10) - отношение R
Определение: Бинарное отношение R на множестве А называется транзитивным, если вместе с парами (х; у) и (у; z) в отношение входит и пара (х, z), т. е. для любых х,у, z из А :
если xRy и yRz, то xRz.

Я могу рассуждать: если (45,45) и ((45,5), то (45,5)? Отношение транзитивно.

[GAA]

Это необходимо проверить для всех соответствующих пар.

-- Пт 11.06.2010 19:24:53 --

Т.е. для всех соответствующих пар (x,y) и (y,z) должно выполняться: если xRy и yRz, то xRz.

[Ирина1]

То есть я могу в определении использовать 2 раза одну и туже пару?
если (45,45) и ((45,5), то (45,5).
Тогда для всех подходящих пар это условие выполнено, значит отношение транзитивно.
Все равно коряво как-то. А не могли бы Вы привести пример числового множества, для которого отношение кратности не было бы транзитивным? Такого не бывает?

-- Пт июн 11, 2010 22:12:58 --

Пожалуйста, скажите, а если бы множество А состояло бы из элементов 2,3,7,11. Отношение кратности на транзитивность как здесь проверять? Или на этом множестве отношение не транзитивно?
Ведь мы не найдем здесь xRy, yRz?
Спасибо.

А все-таки граф отношения ориентированный или нет? Или это зависит от отношения? Везде пишут по-разному.

[GAA]

По поводу транзитивности см. приведенное Вами определение.
Т.к., в общем случае, порядок в паре важен, то граф --- ориентированный.

[Ирина1]

Я могу сформулировать определение транзитивности так:

Если на множестве вам удастся найти пары xRy и yRz, то имеет смысл дальше говорить о второй части определения. Если не удастся, то и смысла говорить о транзитивности отношения нет.

Это правильно?

[GAA]

Правильно так, как сформулировано Вам на лекции, или приведено в рекомендованной книге. Вот от такого определения и надо отталкиваться.

Я пошел спать. Успехов Вам, Ирина1, в изучении математики.

[maxmatem]

Вообще-то вам надо, чтобы свойство транзитивности было выполнено для всех элементов из множества , где определен порядок.
Если $\[ \forall (x,y,z) \in M\,\,\, \] $ и $\[ {\left( {xRy} \right)\& \left( {yRz} \right)} \]$ , то $\[ xRz \] $

[Ирина1]

Ну хорошо, взяла я предположим элементы множества 2,3,5,7,11 и отношение кратности. Где я возьму две пары (x,y), (y,z) из (2,2), (3,3), (5,5), (7,7), (11,11)?

Ну ведь это не тот вопрос, по которому можно вести длительные дискуссии. Ну заклинило меня на этом отношении. Вы мне скажите, транзитивно оно или нет для множества 2,3,5,7,11? А я себе попытаюсь объяснить сама. Что толку, что я цитирую правило 20 раз?

[arseniiv]

Транзитивно-транзитивно. А вот почему... логика и ещё раз логика!

[Ирина1]

Но условие же не выполняется? Нельзя же привести пример того, что если xRy и yRz, то xRz.

-- Пт июн 11, 2010 23:26:16 --

В математике бинарное отношение R на множестве X называется транзитивным, если для любых трёх элементов множества x,y,z выполнение отношений xRy и yRz влечёт выполнение отношения xRz.
А если нет выполнения отношений xRy и yRz? Как же доказать, что отношение транзитивно?

[arseniiv]

Ирина1 в сообщении #330258 писал(а):

Но условие же не выполняется?

С чего ж это вы взяли?

Как бы вы не путали $\forall x P(x)$ и $P(x)$...