Метод математической индукции

[R45H]

Не могу разобраться с этим методом. Вот пример:

$$4+9+14+...+(5n-1)=\frac {(n(5n+3)} 2$$

Для начала первое число (тоесть 4) приравнял к правой части, вместо $n$ подставил 1, посчитал и получилось тоже 4. Затем:

$$4+9+14+...+(5n-1)+5k= \frac {(k(5k+3)} 2 +5k$$

А вот дальше запутался!

[Mathusic]

Я бы просто проссуммировал как прогрессию, да ладно.
Делаете так. Пусть $F(n)$ - выражение для искомой суммы. Полагаете, что при $n$ утверждение верно. Теперь нужно доказать $F(n)+a_{n+1}=F(n+1)$.

[gris]

Я бы даже просто проверил
$F(n+1)-F(n)=a_{n+1}$, что бывает немного проще для понимания.

[Padawan]

(Оффтоп)

Можно даже $F(n+1)-F(n)-a_n=0$

[Mathusic]

Padawan в сообщении #329868 писал(а):

(Оффтоп)

Можно даже $F(n+1)-F(n)-a_n=0$

(Оффтоп)

Этого лучше не делать, ибо не получится

[gris]

На самом деле. Очень многие испытывают трудности, когда начинают лепить формулу для $F(n+1)$
$F(n+1)-F(n)= \dfrac{(n+1)(5(n+1)+3)}2-\dfrac{n(5n+3)}2=...}$
Тут почти только прямые действия. А вот

$F(n)+a_{n+1}=\dfrac{n(5n+3)}2+5(n+1)-1=\dfrac{n(5n+3)+10(n+1)-2}2=$
$=\dfrac{5n^2+13n+8}2=...$
И чо? Поди догадайся.

Ну вот пусть топикстартер голову поломает, как тут дальше быть.

[Mathusic]

gris в сообщении #329880 писал(а):

И чо? Поди догадайся.
Ну вот пусть топикстартер голову поломает, как тут дальше быть.

Не перегибайте, батенька
Не нужно голову ломать, здесь нужно просто подгонять. $5n^2+13n+8=(n+1)(\dots)$, да и, вообще, не думаю, что кто-то бы не догодался бы квадратное выражение на линейные развалить...
Помимо этого: я сказал, что нужно проверить $F(n)+a_{n+1}=F(n+1)$. Как это делать, я не говорил.

[gris]

Ох, батюшка мой, не перегибаю, вот уж истинно говорю Вам, не перегибаю ничуть. Сотру там формулки, а то заругают. Вот насчёт перемножить да подобные привести, это проходит, а подогнать... Тут-то непонятки и бывают.
А впрочем это всё так, само собой как-то раз и высказалось. А зачем и сам не пойму. Просто сам я завсегда вычитаю.

[Mathusic]

gris
Ещё раз. Вы понимаете, что я с вами в противоречие не вхожу?
Я говорил:

(Оффтоп)

Mathusic в сообщении #329843 писал(а):

Теперь нужно доказать $F(n)+a_{n+1}=F(n+1)$.

Почему так записал? - дабы показать смысл индукционного шага. А дальше - как удобно, так крути.

[gris]

Да и я с Вами не вхожу в противоречие. Вы написали правильно, я просто немного шагнул вперёд, процитировав Ваши же формулы. Для Вас этот шажок тривиален, более того, Вы обойдётесь и без него. Но вот не все могут раскладывать на множители. И надо им показать явно путь, где нужно только скобки раскрывать. То есть как дальше удобнее крутить.
Собственно, Вы же сами сказали в соседней теме про целочисленные уравнения, что не всё надо понимать, а просто делать как сказано. Или не это. Но по крайней мере убедились, что не все могут понимать вещи, которые понятны Вам.

[maxmatem]

Вот почитайте И.С. Соминский. Метод математической индукции., очень хорошая и полезная книга, но только надо немного терпения , разобрать пару примеров, попробавать решить несколько предложенных задач, и метод мат. индукции станет для вас очень естественным способом доказательства соответствующих утверждений.
А может вы сначала более простую задачу решите.(чтобы руку набить)
Ну например доказать для всех $\[ n \in \mathbb{N} \]$ , что $\[ 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}} {2} \] $

[BapuK]

(Оффтоп)

maxmatem в сообщении #329922 писал(а):

Вот почитайте И.С. Соминский. Метод математической индукции., очень хорошая и полезная книга, но только надо немного терпения , разобрать пару примеров, попробавать решить несколько предложенных задач, и метод мат. индукции станет для вас очень естественным способом доказательства соответствующих утверждений.
А может вы сначала более простую задачу решите.(чтобы руку набить)
Ну например доказать для всех $\[ n \in \mathbb{N} \]$ , что $\[ 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}} {2} \] $

а можно так: что для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется $\underbrace{1 + \dots + 1}_n = n$

[maikle]

Цитата:

И чо? Поди догадайся.

Метод мат. индукции подразумевает, что, проверяя для n-ых членов прогрессии сумму, сумма (n+1)-ых членов будет иметь ту же формулу, только вместо n будет стоять n+1...

[Mitrius_Math]