Расстояние между точкой и плоскостью (мат. анализ)

[Dilettante]

Подскажите, как средствами мат. анализа найти минимальное расстояние между произвольной точкой M и плоскостью, заданной уравнением Ax+By+Cz+D=0? Знаю, что нужно представить расстояние как функцию, найти минимум. Но у меня не получается выразить расстояние функцией.

[gris]

Если Вам нужно вывести формулу, то параметризуйте плоскость через два параметра $u$ и $v$. Найдите расстояние (квадрат его) как функцию этих переменных и найдите её минимум.

[ИСН]

Идея параметризовать плоскость вызывает у меня тошноту. Но gris прав, один раз сделать это надо - чтобы понять, откуда растёт выражение для расстояния.

[Dilettante]

У меня возникала идея выразить параметрически плоскость, но как-то я отбросил эту мысль... Спасибо за подсказку, попробую

[Padawan]

Именно средствами мат.анализа надо? Тут и элементарной геометрии хватит.

-- Ср июн 09, 2010 17:49:35 --

В уравнение плоскости вместо $x$, $y$ и $z$ подставить $x_0+n_xr$, $y_0+n_yr$, $z_0+n_zr$ и приравнять к нулю, где $M=(x_0,y_0,z_0)$, $n=(n_x,n_y,n_z)$ -- единичная нормаль к плоскости, $r$ -- искомое расстояние (если получится отрицательное, то по модулю взять).

[ewert]

Стандартный рецепт таков (он был намекнут в предыдущем сообщении, но -- не вполне стандартно; а между тем отскакивать он должен от зубов, поскольку это никакой не анализ, а простейшая АиГ, которой Вас параллельно непременно учили).

Надо привести уравнение к так называемому "нормальному виду", нормализовав его, т.е. разделив на корень из суммы квадратов трех коэффициентов при неизвестных. Потом перекинуть все в одну часть. Потом подставить в полученное координаты точки. Это и будет расстояние (с точностью до знака).

Почему это работает -- вопрос следующий. Но это -- некоторая самостоятельная ценность, которую следует зазубрить безусловно.

[мат-ламер]

Если всё же для преподавателя нужно средствами анализа, то можно расстояние задать как $f(x)=\| x-M \| ^2$, а уравнение плоскоскости взять за ограничение и дальше применить метод множителей Лагранжа. Но это скорее экзотика и предыдущие способы покороче будут.

[Dilettante]

Ewert, Padawan

Так в том то и дело) Я знаю, что средствами геометрии решается в одно действие почти что; а мне вот нужно именно методами анализа. Это одна из текстовых задачек, как то найти стороны ванны, чтоб был максимальный объём и т.п.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #329493 писал(а):

Если всё же для преподавателя нужно средствами анализа, то можно расстояние задать как $f(x)=\| x-M \| ^2$,

Написал ерунду. Это не расстояние, а его квадрат, зато функция дифференцируемая.

[Sasha2]

А что стандартный метод неопределенных множителей Лагранжа не подходит?
Составляете функцию: $\ f(x)=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2+\lambda(Ax+By+Cz+D)$
и ищете ее экстремум.
Вроде так это делается. Поправьте пожалуйста, если ошибаюсь.

[paha]

Sasha2 в сообщении #329543 писал(а):

Поправьте пожалуйста, если ошибаюсь.

Не ошибаетесь

-- Чт июн 10, 2010 00:42:05 --

уравнения. найденные этим методом

$$ 2(r-r_0)+\lambda n=0,\quad (r,n)+D=0\quad n=(A,B,C) $$

проще вывести геометрически из принципа "кратчайшая - по нормали"... Ведь нам надо найти $|r-r_0|$