2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Расстояние между точкой и плоскостью (мат. анализ)
Сообщение09.06.2010, 16:28 


29/05/10
85
Подскажите, как средствами мат. анализа найти минимальное расстояние между произвольной точкой M и плоскостью, заданной уравнением Ax+By+Cz+D=0? Знаю, что нужно представить расстояние как функцию, найти минимум. Но у меня не получается выразить расстояние функцией.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между точкой и плоскостью (мат. анализ)
Сообщение09.06.2010, 16:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Если Вам нужно вывести формулу, то параметризуйте плоскость через два параметра $u$ и $v$. Найдите расстояние (квадрат его) как функцию этих переменных и найдите её минимум.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между точкой и плоскостью (мат. анализ)
Сообщение09.06.2010, 16:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Идея параметризовать плоскость вызывает у меня тошноту. Но gris прав, один раз сделать это надо - чтобы понять, откуда растёт выражение для расстояния.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между точкой и плоскостью (мат. анализ)
Сообщение09.06.2010, 16:49 


29/05/10
85
У меня возникала идея выразить параметрически плоскость, но как-то я отбросил эту мысль... Спасибо за подсказку, попробую

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между точкой и плоскостью (мат. анализ)
Сообщение09.06.2010, 17:39 
Заслуженный участник


13/12/05
4604
Именно средствами мат.анализа надо? Тут и элементарной геометрии хватит.

-- Ср июн 09, 2010 17:49:35 --

В уравнение плоскости вместо $x$, $y$ и $z$ подставить $x_0+n_xr$, $y_0+n_yr$, $z_0+n_zr$ и приравнять к нулю, где $M=(x_0,y_0,z_0)$, $n=(n_x,n_y,n_z)$ -- единичная нормаль к плоскости, $r$ -- искомое расстояние (если получится отрицательное, то по модулю взять).

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между точкой и плоскостью (мат. анализ)
Сообщение09.06.2010, 19:22 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Стандартный рецепт таков (он был намекнут в предыдущем сообщении, но -- не вполне стандартно; а между тем отскакивать он должен от зубов, поскольку это никакой не анализ, а простейшая АиГ, которой Вас параллельно непременно учили).

Надо привести уравнение к так называемому "нормальному виду", нормализовав его, т.е. разделив на корень из суммы квадратов трех коэффициентов при неизвестных. Потом перекинуть все в одну часть. Потом подставить в полученное координаты точки. Это и будет расстояние (с точностью до знака).

Почему это работает -- вопрос следующий. Но это -- некоторая самостоятельная ценность, которую следует зазубрить безусловно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между точкой и плоскостью (мат. анализ)
Сообщение09.06.2010, 19:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7067
Если всё же для преподавателя нужно средствами анализа, то можно расстояние задать как $f(x)=\| x-M \| ^2$, а уравнение плоскоскости взять за ограничение и дальше применить метод множителей Лагранжа. Но это скорее экзотика и предыдущие способы покороче будут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между точкой и плоскостью (мат. анализ)
Сообщение09.06.2010, 20:14 


29/05/10
85
Ewert, Padawan

Так в том то и дело) Я знаю, что средствами геометрии решается в одно действие почти что; а мне вот нужно именно методами анализа. Это одна из текстовых задачек, как то найти стороны ванны, чтоб был максимальный объём и т.п.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между точкой и плоскостью (мат. анализ)
Сообщение09.06.2010, 20:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7067
мат-ламер в сообщении #329493 писал(а):
Если всё же для преподавателя нужно средствами анализа, то можно расстояние задать как $f(x)=\| x-M \| ^2$,
Написал ерунду. Это не расстояние, а его квадрат, зато функция дифференцируемая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между точкой и плоскостью (мат. анализ)
Сообщение09.06.2010, 21:17 


21/06/06
1721
А что стандартный метод неопределенных множителей Лагранжа не подходит?
Составляете функцию: $\ f(x)=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2+\lambda(Ax+By+Cz+D)$
и ищете ее экстремум.
Вроде так это делается. Поправьте пожалуйста, если ошибаюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между точкой и плоскостью (мат. анализ)
Сообщение09.06.2010, 23:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Sasha2 в сообщении #329543 писал(а):
Поправьте пожалуйста, если ошибаюсь.


Не ошибаетесь

-- Чт июн 10, 2010 00:42:05 --

уравнения. найденные этим методом
$$
2(r-r_0)+\lambda n=0,\quad (r,n)+D=0\quad n=(A,B,C)
$$
проще вывести геометрически из принципа "кратчайшая - по нормали"... Ведь нам надо найти $|r-r_0|$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group