Что за числа? (полученные рекуррентным соотношением)

[serval]

Здравствуйте.
Играя с натуральными числами в натуральных степенях я обнаружил числа, которые можно получить пользуясь рекурентным соотношением:
$G(n,k)=(k-1)\cdot G(n-1,k-1)+k\cdot G(n-1,k)$
и описания которых я не нашел в литературе.
Для сравнения:
$C^n_k=C^{n-1}_{k-1}+C^{n-1}_k$ - биномиальные коэффициенты,
$s(n,k)=s(n-1,k-1)-(n-1)\cdot s(n-1,k)$ - числа Стирлинга 1-го рода,
$S(n,k)=S(n-1,k-1)+k\cdot S(n-1,k)$ - числа Стирлинга 2-го рода.
Знакомы ли кому-нибудь эти числа? Каков их комбинаторный смысл?

P.S. Родство этих чисел с биномиальными коэффициентами и числами Стирлинга 2-го рода, а также некоторые их свойства я опишу позже.

[Leox]

вычислите несколько последовательных чисел и затем поищите в базе целочисленных последовательностей

http://www.research.att.com/~njas/sequences/

[ИСН]

Ну, это числа Стирлинга второго рода, умноженные на $k!$.

[serval]

Натуральные степени натуральных чисел выражаются через биномиальные коэффициенты и числа Стирлинга $2$-го рода известной в комбинаторике формулой

$x^n=\sum\limits_{k=0}^{n} k!\ S(n,k)\left(\begin{array}{cc} x\\k \end{array}\right)$

Запишем треугольник Паскаля в "прямоугольном" виде

$\begin{array}{ccccccc} &\multicolumn{1}{|c}{1}&2&3&{4}&5&\ldots\\ \hline 1&\multicolumn{1}{|c}{1}&0&0&{0}&0&\ \\ 2&\multicolumn{1}{|c}{1}&1&0&{0}&0&\ \\ 3&\multicolumn{1}{|c}{1}&2&1&{0}&0&\ldots\\ 4&\multicolumn{1}{|c}{1}&3&3&{1}&0&\ \\ 5&\multicolumn{1}{|c}{1}&4&6&{4}&1&\ \\ \vdots&\multicolumn{1}{|c}{\ }&{\ }&\vdots&{\ }&{\ }&\ddots \end{array}$

Далее не будем различать ко- и контравариантные координаты.
Считая этот треугольник матрицей транспонируем его и рассмотрим вектор-столбцы. Тогда чтобы получить $k+1$-й столбец нужно подействовать на $k$-й столбец оператором матрица которого имеет вид

${A_1}=\left( \begin{array}{cccccc} 1&0&0&0&0&\ \\ 1&1&0&0&0&\ \\ 0&1&1&0&0&\ldots\\ 0&0&1&1&0&\ \\ 0&0&0&1&1&\ \\ \ &\ &\vdots&\ &\ &\ddots \end{array}\right)$

Тогда $k$-й столбец может быть получен из $1$-го орта $\vec{e}_1=(\ 1,\ 0,\ 0,\ \ldots\ )$ действием соответствующей степени оператора $A_1$

$\vec k={A}^{k-1}_1\vec{e}_1$

Всё сказанное без каких-либо изменений справедливо для $G$-чисел

$\begin{array}{ccccccc} &\multicolumn{1}{|c}{1}&2&3&4&5&\ldots\\ \hline 0&\multicolumn{1}{|c}{1}&0&0&0&0&\ \\ 1&\multicolumn{1}{|c}{1}&1&0&0&0&\ \\ 2&\multicolumn{1}{|c}{1}&3&2&0&0&\ldots\\ 3&\multicolumn{1}{|c}{1}&7&12&6&0&\ \\ 4&\multicolumn{1}{|c}{1}&15&50&60&24&\ \\ \vdots&\multicolumn{1}{|c}{\ }&{\ }&{\vdots}&{\ }&{\ }&\ddots \end{array}$

с одной лишь поправкой - матрица их оператора имеет вид

${A_2}=\left( \begin{array}{cccccc} 1&0&0&0&0&\ \\ 1&2&0&0&0&\ \\ 0&2&3&0&0&\ldots\\ 0&0&3&4&0&\ \\ 0&0&0&4&5&\ \\ \ &\ &\vdots&\ &\ &\ddots \end{array}\right)$

Окончательно имеем

$x^y=\sum\limits_k C(x,k)\cdot G(y,k)$

или

$x^y=({A}^{x-1}_1\vec{e}_1,\ {A}^{y-1}_2 \vec{e}_1)$

Хорошо видно сходство матриц $A_1$ и $A_2$: каждая имеет лишь две ненулевые диагонали - главную и первую под ней. Также можно заметить, что ненулевые диагонали матрицы $A_1$ содержат первый столбец "прямоугольного" треугольника Паскаля, а ненулевые диагонали матрицы $A_2$ - его второй столбец. Пользуясь этим свойством можно построить подобные матрицы операторов из старших столбцов треугольника.
Значения скалярных произведений векторов из порождённых этими операторами множеств содержат, среди прочих, простые числа. Например

$\\ {A}^{4}_2\vec{e}_1=(1,\ 15,\ 50,\ 60,\ 24)\\ {A}^{2}_3\vec{e}_1=(1,\ 4,\ 3,\ 0,\ 0)$\\ ({A}^{4}_2\vec{e}_1,\ {A}^{2}_3 \vec{e}_1)=211$\\$

где матрица $A_3$, построенная из третьего столбца треугольника Паскаля, имеет вид

${A_3}=\left( \begin{array}{cccccc} 1&0&0&0&0&\ \\ 1&3&0&0&0&\ \\ 0&3&6&0&0&\ldots\\ 0&0&6&10&0&\ \\ 0&0&0&10&15&\ \\ \ &\ &\vdots&\ &\ &\ddots \end{array}\right)$

Подобных примеров векторной факторизации простых чисел мне известно более ста.
В связи с этим, вызывают интерес два вопроса:
1. Любого ли вида простые числа могут быть представлены скалярными произведениями векторов принадлежащих указанным множествам,
2. Как распределены точки отвечающие простым числам в черырёхмерном пространстве, где координатами являются номера множеств и номера векторов - каждого в своём множестве (в приведённом примере числу $211$ отвечает точка с координатами $(2,\ 4,\ 3,\ 2)$ с точностью до перестановки координат).

P.S. Свойства и возможности $G$-чисел этим не ограничиваются.