Задача на док-во принадлежности множества сигма-алгебре

[Andronick]

Всем добрый день!
Есть задача:
Пусть $X$ и $Y$ - случайные величины, определенные на вероятностном пространстве $( \Omega, \Phi, P)$. Доказать, что множество

$$\{\,\omega\in \Omega\\ \colon \ X(\omega)\ <=\ Y(\omega)\}$$

принадлежит сигма алгебре, другими словами, является событием.
Я делаю так:

$$ X(\omega)\ \leqslant \ Y(\omega)$$

$$ X(\omega)\ - \ Y(\omega) \leqslant 0 $$

По определению случайной величины из книги Колмогорова "Основные понятия теории вероятностей" (стр. 38), разность данных случайных величин будет являться случайной величиной, следовательно, вышеупомянутое множество будет являться событием.

Подскажите, пожалуйста, это правильно доказано или нет?

[PAV]

То, что разность двух случайных величин тоже является с.в., следует не из определения, а должно доказываться. Я думаю, что в данной задаче не предполагается, что Вы этим будете пользоваться, а докажете непосредственно. Или Вас попросят доказать это утверждение.

[AD]

Да, утверждение про сумму случайных величин, фактически, эквивалентно вашему.
При доказательстве этих фактов обычно используют очевидное равенство

$$\{\omega\in\Omega: X(\omega)>Y(\omega)\}=\bigcup\limits_{q\in\mathbb{Q}}\Bigl(\{\omega\in\Omega:X(\omega)<q\}\cap\{\omega\in\Omega:Y(\omega)>q\}\Bigr)$$