Теорема.
1)
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
- суммируема на
![$[a,\beta]$ $[a,\beta]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/e/1fe05460b749347d683c9eb755a9c4be82.png)
.
![$\forall [a,b] \subset [a,\beta] f$ $\forall [a,b] \subset [a,\beta] f$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/0/4601d5dbc253c6d1de8fe5d60e36e2a882.png)
интегрируема по Риману.
Тогда:
![$$\int\limits_a^{\beta} |f(x)|dx < +\infty$$ $$\int\limits_a^{\beta} |f(x)|dx < +\infty$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/8/26826c711b71927eb9a971374344cc2782.png)
и интегралы Лебега и Римана равны на
![$[a,\beta]$ $[a,\beta]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/e/1fe05460b749347d683c9eb755a9c4be82.png)
.
2)
![$$\int\limits_a^{\beta} |f(x)|dx < +\infty$$ $$\int\limits_a^{\beta} |f(x)|dx < +\infty$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/8/26826c711b71927eb9a971374344cc2782.png)
, тогда
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
- суммируема на
![$[a,\beta]$ $[a,\beta]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/e/1fe05460b749347d683c9eb755a9c4be82.png)
и интегралы Лебега и Римана равны на
![$[a,\beta]$ $[a,\beta]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/e/1fe05460b749347d683c9eb755a9c4be82.png)
.
Доказательство:
1) Покажем, что
![$\int\limits_a^{\beta} |f(x)|dx < +\infty$ $\int\limits_a^{\beta} |f(x)|dx < +\infty$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/e/f1e18949c01a5a0871a21a26c45a005b82.png)
.
![$\int\limits_a^{\beta} |f(x)|dx = \lim\limits_{b\rightarrow\beta-0}\int\limits_a^b |f(x)|dx$ $\int\limits_a^{\beta} |f(x)|dx = \lim\limits_{b\rightarrow\beta-0}\int\limits_a^b |f(x)|dx$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/3/2b3de7440dfbf73c68abe06c9269827182.png)
При возрастании
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
интеграл:
![$\int\limits_a^b f(x)dx$ $\int\limits_a^b f(x)dx$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/5/7f5af79e6a6d14e8bca7d33e787c270882.png)
не убывает. Следовательно достаточно показать, что этот интеграл ограничен сверху.
По теореме о связи собственного интеграла Римана и интеграла Лебега:
![$\int\limits_a^b |f(x)|dx=\int\limits_{[a,b]} |f(x)|d\mu \leq\int\limits_{[a,\beta)}|f(x)|d\mu=const$ $\int\limits_a^b |f(x)|dx=\int\limits_{[a,b]} |f(x)|d\mu \leq\int\limits_{[a,\beta)}|f(x)|d\mu=const$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/f/66f852bac4f388c6d584fd68b65ea6f882.png)
т.к.
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
- суммируема. Следовательно
![$$\int\limits_a^{\beta} |f(x)|dx < +\infty$$ $$\int\limits_a^{\beta} |f(x)|dx < +\infty$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/8/26826c711b71927eb9a971374344cc2782.png)
Теперь покажем, что интегралы равны.
По условию теоремы:
![$\int\limits_a^b f(x)dx$ $\int\limits_a^b f(x)dx$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/5/7f5af79e6a6d14e8bca7d33e787c270882.png)
существует. Следовательно по теореме о связи интеграла Римана и Лебега:
![$\int\limits_a^b f(x)dx = \int\limits_{[a,b]} f(x)d\mu$ $\int\limits_a^b f(x)dx = \int\limits_{[a,b]} f(x)d\mu$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/0/2/c025d133fb2f66206f06aeb4bc23d02882.png)
Переходя к пределу:
![$\lim\limits_{b\rightarrow\beta-0}\left(\int\limits_a^b f(x)dx - \int\limits_{[a,b]} f(x)d\mu\right)$ $\lim\limits_{b\rightarrow\beta-0}\left(\int\limits_a^b f(x)dx - \int\limits_{[a,b]} f(x)d\mu\right)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/1/421febcd326b538bc86b309253eaab5d82.png)
Получим требуемое:
![$\int\limits_a^{\beta} |f(x)|dx=\int\limits_{[a,\beta)} |f(x)|d\mu$ $\int\limits_a^{\beta} |f(x)|dx=\int\limits_{[a,\beta)} |f(x)|d\mu$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/3/bd374ab69ac58e971c90cea859a234ba82.png)
2)
![$\int\limits_a^{\beta} f(x)dx$ $\int\limits_a^{\beta} f(x)dx$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/9/ab98c93ce6831c6f5f6637592613223e82.png)
сходится абсолютно. Следовательно
![$f(x)$ $f(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/9/7997339883ac20f551e7f35efff0a2b982.png)
ограничена, следовательно суммируема.
Докажем равенство:
Введем последовательность:
![$$f_n=\left\{
\begin{array}{rcl}
f(x), x\in[a,b_n] \\
0, x\notin [a,b_n]\\
\end{array}
\right.$$ $$f_n=\left\{
\begin{array}{rcl}
f(x), x\in[a,b_n] \\
0, x\notin [a,b_n]\\
\end{array}
\right.$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/c/abc1b4537ab465896658fb8df1c8e22882.png)
![$b_n$ $b_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/5/935aab151b542081e51a21ca914e3be682.png)
не убывают, следовательно
![$f_n\leq f_{n+1}$ $f_n\leq f_{n+1}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/2/e222604195e6e49fe64d8f67af731c6e82.png)
следовательно
![$f_n$ $f_n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/8/ff82ed17908d67f099f83c0b251de0ab82.png)
монотонна.
![$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}f_n=f(x)$ $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}f_n=f(x)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/0/5e0fff07eba71755007e1771dee6659c82.png)
![$\int\limits_{[a,\beta)} f_n(x)d\mu = \int\limits_{[a,b_n]} f_n(x)d\mu+\int\limits_{[b_n,\beta)} f_n(x)d\mu=\int\limits_{[a,b_n]} f(x)d\mu=\int\limits_a^{b_n} f(x)dx$ $\int\limits_{[a,\beta)} f_n(x)d\mu = \int\limits_{[a,b_n]} f_n(x)d\mu+\int\limits_{[b_n,\beta)} f_n(x)d\mu=\int\limits_{[a,b_n]} f(x)d\mu=\int\limits_a^{b_n} f(x)dx$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/9/6696331b499cb1f6e89d9828f87f25b382.png)
После первого знака равенства второе слагаемое обнуляется при
![$b_n\rightarrow\beta$ $b_n\rightarrow\beta$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/6/4c626aaa25a688ccf58bce649678f24082.png)
/
Третье равенство объясняется все той же теоремой о связи инт. Римана и Лебега.
Получили:
![$\int\limits_{[a,\beta)} f_n(x)d\mu=\int\limits_a^{\beta} f_n(x)dx$ $\int\limits_{[a,\beta)} f_n(x)d\mu=\int\limits_a^{\beta} f_n(x)dx$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/a/0aaf393fed87711a868e696678c65faf82.png)
Т.к.
![$|f_n|$ $|f_n|$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/b/68b30cb18d1729bb639bcd85328dc43582.png)
ограничены
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
, то воспользуемся теоремой Лебега о предельном переходе при
![$n\rightarrow\infty$ $n\rightarrow\infty$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/9/219ed870532672193ea4f5955e8b4de482.png)
и получим треубемое.
Проверьте и поправьте, пожалуйста, доказательство.