Связь несобственного интеграла Римана и интеграла Лебега.

[G_Ray]

Теорема.
1)$f$ - суммируема на $[a,\beta]$. $\forall [a,b] \subset [a,\beta] f$ интегрируема по Риману.
Тогда:

$$\int\limits_a^{\beta} |f(x)|dx < +\infty$$

и интегралы Лебега и Римана равны на $[a,\beta]$.
2)

$$\int\limits_a^{\beta} |f(x)|dx < +\infty$$

, тогда $f$ - суммируема на $[a,\beta]$ и интегралы Лебега и Римана равны на $[a,\beta]$.
Доказательство:
1) Покажем, что $\int\limits_a^{\beta} |f(x)|dx < +\infty$.
$\int\limits_a^{\beta} |f(x)|dx = \lim\limits_{b\rightarrow\beta-0}\int\limits_a^b |f(x)|dx$
При возрастании $b$ интеграл:$\int\limits_a^b f(x)dx$ не убывает. Следовательно достаточно показать, что этот интеграл ограничен сверху.
По теореме о связи собственного интеграла Римана и интеграла Лебега:
$\int\limits_a^b |f(x)|dx=\int\limits_{[a,b]} |f(x)|d\mu \leq\int\limits_{[a,\beta)}|f(x)|d\mu=const$ т.к. $f$ - суммируема. Следовательно

$$\int\limits_a^{\beta} |f(x)|dx < +\infty$$

Теперь покажем, что интегралы равны.
По условию теоремы: $\int\limits_a^b f(x)dx$ существует. Следовательно по теореме о связи интеграла Римана и Лебега: $\int\limits_a^b f(x)dx = \int\limits_{[a,b]} f(x)d\mu$
Переходя к пределу: $\lim\limits_{b\rightarrow\beta-0}\left(\int\limits_a^b f(x)dx - \int\limits_{[a,b]} f(x)d\mu\right)$
Получим требуемое:
$\int\limits_a^{\beta} |f(x)|dx=\int\limits_{[a,\beta)} |f(x)|d\mu$


2)$\int\limits_a^{\beta} f(x)dx$ сходится абсолютно. Следовательно $f(x)$ ограничена, следовательно суммируема.
Докажем равенство:
Введем последовательность:

$$f_n=\left\{ \begin{array}{rcl} f(x), x\in[a,b_n] \\ 0, x\notin [a,b_n]\\ \end{array} \right.$$

$b_n$ не убывают, следовательно $f_n\leq f_{n+1}$ следовательно $f_n$ монотонна. $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}f_n=f(x)$
$\int\limits_{[a,\beta)} f_n(x)d\mu = \int\limits_{[a,b_n]} f_n(x)d\mu+\int\limits_{[b_n,\beta)} f_n(x)d\mu=\int\limits_{[a,b_n]} f(x)d\mu=\int\limits_a^{b_n} f(x)dx$
После первого знака равенства второе слагаемое обнуляется при $b_n\rightarrow\beta$/
Третье равенство объясняется все той же теоремой о связи инт. Римана и Лебега.

Получили:$\int\limits_{[a,\beta)} f_n(x)d\mu=\int\limits_a^{\beta} f_n(x)dx$
Т.к. $|f_n|$ ограничены $f$, то воспользуемся теоремой Лебега о предельном переходе при
$n\rightarrow\infty$ и получим треубемое.


Проверьте и поправьте, пожалуйста, доказательство.

[AD]

По первой части:

G_Ray в сообщении #328512 писал(а):

При возрастании $b$ интеграл:$\int\limits_a^b f(x)dx$ не убывает.

Очепятка?

G_Ray в сообщении #328512 писал(а):

Переходя к пределу:

Здесь можно по-подробнее, почему можно перейти к пределу под интегралом Лебега. Но это просто. В целом, всё хорошо.


По второй части: Во-первых, утверждение просто неверно, потому что можно тупо взять неизмеримую функцию $f$, у которой $|f|\equiv1$. Во-вторых:

G_Ray в сообщении #328512 писал(а):

2)$\int\limits_a^{\beta} f(x)dx$ сходится абсолютно. Следовательно $f(x)$ ограничена

Берём $f(x)=\frac1{\sqrt{x}}$, интеграл на $[0,1]$ сходится абсолютно, но она не ограничена. Что я делаю не так?
Дальше ниасилил, но вроде идея просматривается какая-то.