Дифференциальное уравнение всех окружностей

[xabik]

День добрый форумчане. Такая вот задача в контрольной работе. Составить дифференциальное уравнение всех окружностей на плоскости ХОУ. Я так понимаю это составление дифференциальных уравнений семейства плоских кривых. Верно? Ну так вот... Формула окружности есть

$x^2+y^2+Ax+By+C=0$

Нужно дифференцировать его столько раз по Х что бы убрать все параметры этого уравнения А,В,С. Или я не прав. Подскажите пожалуйста студенту

[ИСН]

Помолясь, приступим. Какого порядка должен быть диффур, чтобы у него в общем решении фигурировали три константы?

[Padawan]

Продифференцируйте три раза. Получится вместе с исходным четыре равенства. Исключите из них три неизвестные величины $A$, $B$, $C$. Получится искомое дифференциальное уравнение.

[xabik]

Первого наверное. Каждый раз дифференцирую мы избавляемся от константы. Так?

[Padawan]

xabik в сообщении #328611 писал(а):

Первого наверное. Каждый раз дифференцирую мы избавляемся от константы. Так?

Дифференцировать умеете? Вперед. И потом посмотрите, избавляемся или не избавляемся.

[xabik]

1 шаг дифференцирования

$$2x+2yy'+A+By$$

2 шаг

$$2+2(y'y'+yy'')+By''=0$$

а как дальше? Как избавится от В?

[ИСН]

Выразите B из последнего уравнения.

-- Пн, 2010-06-07, 20:06 --

Явно, да.

[xabik]

$$\frac{2}{y''}+\frac{2y'y'}{y''}+2y=-B$$

Будет ли это тем самым уравнением, ведь вроде бы необходимо избавиться от параметров в конечном уравнении

[Padawan]

Еще надо один шаг дифференцирования.

[vvvv]

xabik в сообщении #328601 писал(а):

День добрый форумчане. Такая вот задача в контрольной работе. Составить дифференциальное уравнение всех окружностей на плоскости ХОУ. Я так понимаю это составление дифференциальных уравнений семейства плоских кривых. Верно? Ну так вот... Формула окружности есть

$x^2+y^2+Ax+By+C=0$

Нужно дифференцировать его столько раз по Х что бы убрать все параметры этого уравнения А,В,С. Или я не прав. Подскажите пожалуйста студенту

Да что Вы мучаетесь? Откройте Курс дифференциальных уравнений В.В. Степанова на стр.15 и посмотрите как это делается

[Padawan]

xabik в сообщении #328770 писал(а):

$$\frac{2}{y''}+\frac{2y'y'}{y''}+2y=-B$$

Будет ли это тем самым уравнением, ведь вроде бы необходимо избавиться от параметров в конечном уравнении

Осталось малость: $\dfrac{d}{dx}$ от обеих частей