Модули

[DMB4]

Решить уравнение.$x+|x-1|+|x+1|+...+|x-100|+|x+100|=1000$

[gris]

первый $x$ не по модулю?
Можно прикинуть график и определить, сколько корней и где может находиться корень.
Одно решение я знаю.

[DMB4]

там $x$ по модулю

[maxal]

DMB4 в сообщении #328404 писал(а):

там $x$ по модулю

Ну так исправьте формулу и поставьте там модуль.

И на будущее - старайтесь быть очень аккуратным в формулировках. Каждая неточность порождает ненужный флейм.

[gris]

(Оффтоп)

Недолго музыка играла, недолго Димка банковал.

А жаль. Вдруг и правда школьник? Горяч, конечно, ершист по-подростковому, но умён и логичен

[Профессор Снэйп]

gris в сообщении #328380 писал(а):

Одно решение я знаю.

Ясно, что если $x = a$ --- решение, то $x = -a$ --- тоже решение. Отсюда вывод: gris "знает" решение $x = 0$

Но это неверное решение! При $x = 0$ сумма будет равна $10100$, а не $1000$. И вообще, при всех иксах сумма всех слагаемых, кроме первого, будет больше чем $5050 + 101|x|$, так что решений нет.

Наверное, $x$ всё-таки без модуля... Хотя нет, это не спасает: $5050 + 101|x| + x \geqslant 5050 + 100|x| > 1000$.

Наверное, в правой части уравнения должно быть не $1000$, а что-то большее...

-- Пн июн 07, 2010 00:41:44 --

Вообще, можно заметить, что

$$ |x-a| + |x+a| = \begin{cases} 2|x|, &|x| > |a| \\ 2|a|, &|x| \leqslant |a| \end{cases} $$

При любом $x$ эта сумма больше либо равна $2|a|$. Отсюда мораль:

$$ |x-1|+|x+1| + |x-2| + \ldots + |x+99| + |x-100| + |x + 100| \geqslant 10100 $$

при всех $x \in \mathbb{R}$.

[ewert]

Ну функция откровенно выпуклая, так что требуется просто банальный перебор

[Профессор Снэйп]

Да ну какой перебор? Тривиальная оценка даёт отсутствие решений!

[gris]

Не, ну если я сейчас скажу, что прикинув график и именно его значение в 0, я под "одним решением" имел в виду именно отсутствие корней, то на меня посмотрят с усмешкой, тем более, что на самом деле под одним решением я понимал возвращение Димы, к которому успел проникнуться симпатией, ну да чего уж теперь.
Хилбибэк, я думаю.
И всё же она не выпуклая, если без первого модуля, что не отменяет.

[ewert]

(Оффтоп)

gris в сообщении #328468 писал(а):

Хилбибэк, я думаю.

Как говаривал Арчи Гудвин -- "это не по-гречески"

[gris]

(Оффтоп)

А вот по-гречески тут совсем не при чём.

[ewert]

gris в сообщении #328468 писал(а):

И всё же она не выпуклая, если без первого модуля, что не отменяет.

Ну как это перекос может отменить выпуклость

[Профессор Снэйп]

Функция, кстати, довольно простая получается. При $|x| \in [0,100]$ справедливо

$$ |x-1| + |x+1| + \ldots + |x-100| + |x + 100| = 2\lfloor |x| \rfloor \{ |x| \} + \lfloor |x| \rfloor (\lfloor |x| \rfloor - 1) + 10100, $$

а если $|x| > 100$, то эта сумма равна $200|x|$.

С модулем первый $x$ или нет --- не важно: прибавляйте его сюды и зрите, что получается всё равно очень много!

[gris]

Пардон. Я забыл, что $x$ после нуля прибавляется. Выпуклая. Это вы с Профессором меня запутали... вы... всё вы виноваты. Перышки у птички. И в моей теме про "школу" тоже.

PS я под воздействием неизвестных (известных!) сил посчитал функцию $x$ равной нулю справа от начала координат. В результате получался небольшой клювик. Это была ошибка, прозошедшая от того, что я справедливо, как оказалось, предположил, что автор имел в вмду $|x|$, но я почему-то засомневался и взял среднее между $x$ и $-|x|$.

[Профессор Снэйп]

Если первый $x$ с модулем, то минимум достигается в нуле и равен $10100$. А если без модуля, то в $-1$ и равен $10099$.

А загонов с выпуклостью не понял. Сумма выпуклых функций выпукла. Функции $f(x) = | x - a|$ и $g(x) = x$ выпуклы... Только нахрена эта выпуклость нужна, чем она тут может помочь?