Сходимость ряда

[Aden]

Помогите разобраться со следующим заданием.
Исследовать ряд на сходимость.
$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{n!}}{{\left( {n + 1} \right)!}}} $.
При решении применяю правило Д"Аламбера.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{a_{n + 1} }}{{a_n }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{(n + 2)!}} \cdot \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{n!}}} \right) = 1.$.
Но немогу разобраться ряд схотся или нет?

[ShMaxG]

А зачем Даламбера-то? Чему равен общий член ряда (упрощение напрашивается)?

[maxmatem]

(Оффтоп)

Ну если в Даламбере получилось единица, то на помощь бежит признак Раабе!
а уж если и тот облажается, то непременно признак Гаусса

[meduza]

$(n+1)!=\ldots$

[maxmatem]

$(n+1)!=n!(n+1)$

[ShMaxG]

Ну дали бы уже человеку самому догадаться. Я своим первым сообщением уже все сказал.

[Aden]

Получается следующее
$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{n!}}{{\left( {n + 1} \right)! \cdot n!}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{n + 1}}} $.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } a_n = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{1}{{n + 1}}} \right) = 0$.
получается, что общий член стремится к нулю при n стр-ся к бесконечности, то ряд сходится.Это так?

[GAA]

Нет, это не так. Из выполнения необходимого признака сходимости, не следует сходимость ряда. Поищите подходящий достаточный признак.

[Aden]

А если использовать признак сравнения и сравнить с рядом ?
$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n}} $

[ShMaxG]

А у вас исходный ряд отличается от этого на 1 (признак сравнения не нужен). А этот ряд не сходится.

[daogiauvang]

Используйте признак интеграла. Этот ряд расходится

[ewert]

daogiauvang в сообщении #328421 писал(а):

Используйте признак интеграла.

В обиходе называемый "интегральным признаком" (иногда добавляя "Коши", но напрасно, ибо не нужно и вредит)

[Padawan]

(Оффтоп)

или "интегральный признак Коши-Маклорена" (чтобы Маклорена не обидеть)