Вычислить интеграл (sin^4 x)/x^4, x=0..oo

[Padawan]

Требуется вычислить интеграл

$$\int_0^{+\infty} \frac{\sin^4 x}{x^4}\, dx$$

Я наметил способ через $I(\beta)=\int_0^{+\infty} \frac{\sin^4 x}{x^4}e^{-\beta x}\, dx$, четвёртая производная $I^{(IV)}(\beta)$ считается, потом интегрировать четыре раза и постоянные интегрирования найти из условия $I(+\infty)=0$. Нет ли способа проще?

-- Чт июн 03, 2010 16:43:09 --

А, вот на форуме такое было уже http://dxdy.ru/topic32945.html

[Vadim Shlovikov]

Во-первых, надо перейти к такому рассмотрению $\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin^4x}{x^4}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^4x}{x^4}dx+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{\sin^4x}{x^4}dx+\int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}}\frac{\sin^4x}{x^4}dx+...$

[RIP]

Padawan в сообщении #327236 писал(а):

Нет ли способа проще?

3 раза по частям (вносить икс в степени).

[Vadim Shlovikov]

Vadim Shlovikov в сообщении #327250 писал(а):

Во-первых, надо перейти к такому рассмотрению $\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin^4x}{x^4}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^4x}{x^4}dx+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{\sin^4x}{x^4}dx+\int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}}\frac{\sin^4x}{x^4}dx+...$

Так как интегралы получившегося ряда не решаются в элементарных функциях, то установив степень точности, с какой требуется вычислить интеграл, методами приближённого интегрирования (метод трапеций, метод парабол) последовательно вычисляем интегралы получившегося ряда.
Какие есть ещё предложения?

[AKM]

Vadim Shlovikov в сообщении #327349 писал(а):

Какие есть ещё предложения?

Есть предложение прекратить нести чушь. В этой ветке форума тоже.

[Полосин]

$\int\limits_0^{+\infty}x^{-4}\sin^4x\,dx=-1/24\int\limits_0^{+\infty}(3-4\cos2x+\cos4x)dx^{-3}=$

$=1/6\int\limits_0^{+\infty}(2\sin2x-\sin4x)x^{-3}\,dx=-1/12\int\limits_0^{+\infty}(2\sin2x-\sin4x)dx^{-2}=$

$=1/3\int\limits_0^{+\infty}(\cos2x-\cos4x)x^{-2}\,dx=-1/3\int\limits_0^{+\infty}(\cos2x-\cos4x)dx^{-1}=$

$=2/3\int\limits_0^{+\infty}(-\sin2x+2\sin4x)x^{-1}\,dx=\pi/3$

[Padawan]

Полосин
Спасибо!